微分方程稳定性的随机控制问题研究

With the deepening of the research on the actual system, random factors have influence on the evolution of the system dynamics, and some influence are even subversive, such as in the large scale integrated circuit, the existence of noise may make the stable operation of power system into chaos oscillation, finally causing the grid collapse. Therefore, dynamic behavior analysis and control for stochastic systems with various complicated factors such as nonlinearities, time-delays, varying coefficients, Markov jumps, impulses, distribution parameters and fuzziness are more challenging and more realistic. In this project, the problems of stability and stabilization will be investigated for the nonlinear stochastic functional differential systems with Markov jumps or Lévy noise. The Lyapunov stability theorem with more features on randomness and novel methods of stabilization by noise will be established in order that less conservativeness and more features on randomness. We will bring some new visions and research results for the classic stability analysis and stabilization problems of nonlinear stochastic functional differential systems, which will provide theoretical basis for the engineering and social practices.

随着对实际系统研究的不断深入,随机因素对系统的演化动力学有着不可忽视的影响，有的影响甚至是颠覆性的, 如在大规模集成电路中，噪声的存在可能使得电力系统由稳定运行转化为混沌振荡，最后引发电网崩溃。因此含有非线性、时滞、变系数、Markov跳变、脉冲、分布参数、奇异性、模糊性等复杂因素的随机系统动力学行为分析和控制研究更具挑战性同时也更符合现实应用需求。本项目考虑Markov跳变参数和Lévy噪声等随机因素，通过以非线性泛函微分系统为研究对象, 探讨系统的稳定性与镇定问题。以体现随机系统特色、减小稳定性判据的保守性为目标，建立具有随机系统特色的Lyapunov稳定性定理和随机噪声镇定新方法等。在理论上得到非线性随机泛函微分系统的稳定性分析、镇定控制这一经典问题的新的视野和研究成果，在实践上为工程和社会实践提供理论参考。

近年来，非线性随机动力学主要朝两个方向发展，一个方向是研究的系统从弱非线性系统发展为强非线性系统。另一个方向是系统激励的扩展。在非线性随机动力系统中，由于非线性和随机激励的相互作用，随机激励对非线性动力系统的演化往往发挥着决定性作用。因此，随机系统的稳定性理论的研究与应用越来越受到人们的重视，并且依托常微分方程稳定性理论、概率论和随机过程理论发展迅猛，随机系统的稳定性研究已经成为当前学术领域的热点问题之一。众所周知，Lyapunov函数方法是随机系统稳定性分析最常用的时域方法，因此，如何选择合适的Lyapunov函数并对其导数或差分进行适当放缩以降低保守性是目前系统稳定性研究的焦点。并且当Lyapunov函数不好寻找时，我们可以利用其他方法来研究随机系统的稳定性，比如，随机平均法方法。随机平均法以随机平均原理为理论基础是非线性随机动力学响应分析的重要工具。随机平均法凭借其简单、可以降维、效率高等优点在动力学研究中被广泛应用。在本项目中，我们通过构造特殊的Lyapunov函数得到了Markov切换的脉冲中立型随机泛函微分方程的矩指数稳定性。我们利用线性算子理论和随机平均法理论，得到了脉冲中立型随机微分方程和分数布朗运动驱动的中立型随机微分方程的平均法。下一步，利用随机平均法研究Lévy过程驱动的中立型随机泛函微分方程的各种稳定性。