非凸控制区域下时滞随机微分方程最优控制问题研究

This project is an intersect project of optimal control, stochastic analysis and stochastic delay differential equations, to study the optimal control problem of stochastic delay differential equations based on non-convex control domains. This project will mainly study the following problems: By the spike variation method and the Taylor expansion theory in infinite dimensional space, we study the forward stochastic delay control system with partial information and establish the necessary conditions for optimal control and the maximum principle which we have to overcome the difficulty arising from delay; Combining with the theoretical techniques of backward stochastic differential equations and the functional Itô formula, we will study the forward-backward control system with delay by the second-order variation and the second-order expansions of the cost functions, obtain some new variational equations, adjoint equations and the sufficient and necessary conditions. The backward doubly stochastic control system with delay is investigated, we establish the relationship between this system and the forward-backward control system with delay, and give the maximum principle for optimal control. The completion for this research will not only help us to understand the influence of partial information and delay on optimal control of stochastic systems, but also develop the stochastic optimal control theory with delay and its applications.

本项目是最优控制、随机分析和时滞随机微分方程的交叉课题，拟研究非凸控制区域下的时滞随机微分方程最优控制问题。主要是：利用针状变分方法以及无穷维空间中的Taylor展开理论研究具部分信息的正向时滞随机最优控制问题，建立最优控制所满足的必要条件和最大值原理，克服时滞所带来的困难；结合倒向随机微分方程的理论技巧和泛函Itô公式，提出将状态方程进行二阶变分并建立新的二阶伴随方程的方法来研究正倒向时滞随机控制问题，得到最优控制的充分必要条件；研究倒向重时滞随机控制系统，建立其与正倒向时滞随机控制系统之间的联系并得到最优控制的最大值原理。本项目研究内容的实现不仅有助于了解部分信息和时滞对随机系统最优控制的影响，而且会促进时滞随机控制理论的进一步发展和实际应用。

随机最优控制问题是目前受到广泛关注并且比较活跃的一个学术领域，是将随机过程理论和最优控制理论结合起来研究随机系统的分支。近四十年来，随机最优控制理论获得了飞快的发展，不同类型的随机控制模型及其相应的数学理论被提出，并被广泛应用到物理学、经济学、工程学、生物学等学科中。在本项目的资助下，我们主要研究了两个方面的内容：(i)对随机微分方程的研究，包括解的存在唯一性、分数阶随机微分方程的平均化原理、带泊松跳的随机延迟微分方程的数值解等相关问题;(ii)系统控制与优化研究，包括倒向重随机微分方程的控制问题、平均场正倒向随机微分方程部分可观测最优控制问题、多层复杂网络中知识传播过程的最优反馈控制等相关问题。本项目的研究有助于随机微分方程的理论发展以及在控制领域方面的应用。