DC集值优化问题的若干研究

Optimization has important applications in economic life, resource management and engineering design, etc. Many nonconvex optimization problems can be represented as DC (difference of two convex set-valued mappings) set-valued optimization problems in the sense of star difference. In this project, we will study three aspects of DC set-valued optimization problem by using the method and techniques of convex analysis and variational analysis. Firstly, we will study error bounds of the DC set-valued optimization problem, and expect to obtain sufficient or necessary conditions for the weakly efficient solution set to have error bounds. Secondly, we will study weak subdifferentials of DC set-valued mappings, expect to obtain sufficient conditions for the existence of weak subgradient, calcus rules and important property of weak subdifferentials, and give some sufficient or necessary conditions for the existence of weak minimizer of the DC set-valued optimization problem. Finally, we will study duality theory of the DC optimization problem. We will introduce some different dual problems, and expect to obtain the weak duality, strong duality, stable duality and other duality between the prime problem and these dual problems. In this project, we expect to publish more than 9 research papers in academic journals at home and abroad, including more than 6 papers in SCI journals.

优化在经济生活、资源管理和工程设计等方面有着重要的应用，许多非凸优化问题都可表为星差意义下的DC（两个凸集值映射之差）集值优化问题。本项目拟应用凸分析和变分分析的方法和技巧，研究DC集值优化问题的三个方面。首先，研究DC集值优化问题的误差界，以期获得弱有效解集存在误差界的充分或必要条件。其次，研究DC集值映射的弱次微分，以期获得弱次梯度存在的充分条件、弱次微分的计算法则和重要性质，并给出DC集值优化问题弱极小化子存在的充分或必要条件。最后，研究DC集值优化问题的对偶理论，拟给出该问题的一些不同的对偶问题，以期获得原问题与这些对偶问题之间的的弱对偶，强对偶和稳定对偶等对偶。 本项目预期在国内外学术刊物上发表9篇以上研究论文，其中SCI摘引刊物上发表6篇以上。

集值优化在经济生活、资源管理和工程设计等方面有着重要的应用。本项目应用非光滑分析、变分分析、集值分析和集值优化的基本理论，以上导数和次微分为工具，在误差界、弱次微分和变分不等式方面，重点做了以下的工作：. 1. 在误差界方面。首先，在Banach空间上，研究了两个凸泛函之差构成的泛函的高阶误差界，给出了集合约束的该类泛函存在高阶误差界的充分和必要条件。其次，通过对偶空间中的上导数和法锥，分别在Asplund空间和Banach空间中给出了映射存在Hölder距离次正则性的几个充分条件，并对相关参数作出了估值。作为应用，研究了不等式系统的Hölder误差界。. 2. 在Banach空间中，引入了一种新的集值映射弱次微分的概念，给出了弱次梯度存在的条件，建立了非凸集值优化问题的的拉格朗日乘子法则。. 3. 在Hilbert空间中，研究了多目标约束的集值优化问题。利用迫近法锥和上导数，给出了上述问题的类拉格朗日乘数法。. 4. 在Banach空间中，研究了集值映射的前导数及其应用。作为应用，给出了集值优化问题Pareto有效解存在的几个充分条件。. 5．利用非光滑分析技巧，对论文《A common fixed point theory with applications》（J Optim Theory Appl 163(2):482–490, 2014）的两个公开问题给出了肯定的回答，并给出了证明。. 6.　在Banach空间中，研究了混合变分不等式的弱锐性。通过逼近对偶映射，引入了Banach空间中混合变分不等式解的弱锐性的概念。通过原间隙泛函，给出了弱锐性的几个刻画。. 7. 研究了全参数广义方程的Lipschitz稳定性。通过不动点定理，建立了广义方程的解映射，基映射和域映射的类Lipschitz性质和距离正则性之间的关系。. 8. 研究了全参数广义方程的牛顿迭代法，给出了牛顿迭代法所产生的点列的参数性质。. 以上全部研究结果共发表学术论文10篇，其中8篇发表在SCI收录刊物上，1篇发表在国家级核心中文刊物上。