Willmore泛函的若干问题

Willmore functional has important applications in applied physics, mathematical biology and pure mathematics. In recent years, there is much progress in the study of Willmore surface equation, the variation theory of Willmore functional and the estimates of Willmore energy. By the work of Leon Simon, Bauer and Kuwert, we know that there exist minimizers among closed surfaces of fixed topology for the Willmore functional. Later, Minicozzi proved that there exist minimizers among Lagrangian tori in R^4 for the Willmore functional. Recently, joint with Guofang Wang, we considered two kinds of geometrically constrained variational problems of the Willmore functional. We introduced the notion of HW surface and HW flow, and we proved a small energy curvature estimate and gap theorm for noncompact HW surfaces and the well posedness of the HW flow. In this project, we will continue this study, consider the gap theorem for compact HW surfaces and the long time existence and convergence of the HW flow. In addition, we will consider the Bernstein property of entire Willmore graphs.

Willmore泛函在应用物理，数学生物学以及基础数学里面都有重要的应用。近年来，人们对Willmore曲面方程，Willmore泛函的变分，Willmore能量的估计等方面的研究都取得了丰富的进展。在Willmore泛函的变分方面，Leon Simon和Bauer以及Kuwert的工作一起，证明了Willmore泛函在任意固定亏格的闭曲面类里面达到极小。随后，Minicozzi证明了Willmore泛函在R^4中的拉格朗日环面类里面达到极小。最近，申请人和王国芳合作，考虑了Willmore泛函在拉格朗日曲面类里面的两类变分问题，引进了HW曲面以及HW流的概念，证明了非紧HW曲面的一个小能量曲率估计及gap定理以及HW流的适定性。在本项目中，申请人将继续这方面的研究，考虑紧HW曲面的gap定理以及HW流的长时间存在和收敛性。此外，申请人还将考虑Willmore整图的Bernstein性质。

Willmore泛函在弹性力学，天文学中的霍金质量，以及数学自身发展中都有重要的背景和应用。本项目侧重于Willmore泛函作为一个曲面的曲率泛函以及作为一个高阶（四阶）几何偏微分方程的重要模型进行研究。我们主要研究Willmore曲面的Bernstein型的定理以及Willmore泛函和拉格朗日曲面理论以及勒让德曲面理论的交互关系。沿着这条研究路径，我们定义了Willmore泛函在5维单位球中的勒让德曲面类里面的变分问题，Willmore勒让德曲面的刚性问题，以及与此相关的体积泛函对应的几何变分问题。主要结果包括：Willmore勒让德球的唯一性，Willmore勒让德环面的刚性性质，CSL曲面的刚性性质等。不在项目研究计划之中，但与项目的研究密切相关（在研究项目进展过程中产生的研究想法和成果）的成果还包括外蕴双调和映射带边热流的整体弱解存在性的证明以及双调和子流形的非存在性定理等。这些研究成果丰富了关于高阶几何偏微分方程特别是四阶几何偏微分方程的研究，而该领域是一个相对新的（主要的发展始于本世纪初），还不成熟的研究领域，急需新的理论和成果来加深对它的理解。