有关Willmore流若干问题的研究

The study of the Willmore flow comes from the famous Willmore conjecture, which was first introduced by Willmore in 1965, and many people studied this conjecture. Existence of minimizer in all torus gave rise to the study the gradient flow of the Willmore functional, which received much attention in recent years. Since Willmore flow is a curvature flow of fourth order, it is not easy to study as curvature flows of second order. In this program, we plan to study the singularities of the Willmore flow, aslo we will study the regularity of the weak soltion of the flow.. As for the study of the singularities, firstly, we want to study the asymptotic property of curvature near the singularity and we hope to obtain the condition under which the curvature blow up near the singularity. Secondly, we want to know if the singularity happens in finite time which is still a open problem. . Moser defined a weak solution of the Willmore flow and proved that the flow had a global smooth solution on the whole domain except a set called S. We want to study the properties of the set S, and give the regularities of the weak solution.

Willmore流的研究来源于几何中著名的Willmore猜想，这一猜想自1965年提出，有许多数学家对此猜想进行了研究。由于Willmore泛函极小的存在，近些年来Willmore泛函的负梯度流即Willmore流的研究倍受关注。 由于Willmore流是四阶曲率流，对它的研究有一定难度。本项目拟研究Willmore流的奇点问题和弱解正则性问题：一、研究Willmore流的奇点性质。首先，我们考察Willmore奇点处曲率的渐近性质，希望得到奇点发生处曲率渐近爆破的条件。其次，研究奇点是否有限发生时间，这仍是一公开问题。二、Moser定义了Willmore流的弱解，并给出在某一集合S外，流的光滑解长时间存在。我们拟在这一基础上研究集合S 的性质，给出弱解的正则性。

本项目主要研究一类四阶曲率流，Willmore流的若干问题，具体研究Willmore流的奇点和弱解正则性问题。下面，本人作为项目负责人简要叙述下本项目的成果和项目的进展情况。.首先，项目实施期间， 本项目组一直在跟踪关于Willmore流研究的进展。2013年 F. C. MARQUES 和 A. NEVES 利用极小曲面的min-max理论完成了Willmore猜想的证明，而对于Willmore流的研究进展不大。由于对Willmore流，我们还没有找到合适的几何量来刻画奇点，使得我们目前为止对这一问题的这一方向进展不大。我们认为如何在不能使用极值原理的前提下找到合适的几何量，是Willmore流突破的关键，也是主要困难所在，这需要高阶方程的理论的创新。.我们试图从另外一个方面去研究Willmore流。我们研究了一类全局限制的Willmore流，这也可以看作是带外力场的Willmore流。当外力项为零是，所研究的流的即为Willmore流。作为Willmore流的推广，它的性质与Willmore流并不相同。除此之外，我们这类流是研究保持体积或面积的Willmore泛函的梯度流，具有进一步研究的理论意义。具体地，我们首先给出了这类流的短时间存在性。接着我们给出光滑解的存在下界和 Gap 引理。.作为四阶曲率流的另一研究方法，我们继续二阶曲率流的研究。首先，我们研究了带外力项的逆平均曲率流，给出了不同外力场下流的刻画，并进一步对一类带常外力场的全非线性流，对不同外力场给出流的完全分类。.借鉴Ricci 流研究中，非坍塌性的应用，以及目前国际上对于平均曲率流非坍塌性的关注，本项目组研究了星形平均曲率流的非坍塌性以及曲线流的非坍塌性。这对高阶曲率流奇点的研究也具有理论指导意义.2013年，本人受国家留学基金委的资助访问了美国圣母大学韩青教授，与HANQING 教授合作的退化双曲方程的适定性问题也获得了进展。. 综上所述，本项目的研究取得了很大的进展，但仍有部分问题未解决，需要后续的研究。