高斯过程非线性泛函极限理论的若干问题研究

Limit theorems for stochastic processes are very important in probability theory. General stochastic processes can have very complicated dependence structure. So it is extremely hard to study their functional limit theorems. We plan to study limit theorems for nonlinear functionals of Gaussian processes. For general Gaussian processes, we work on limit theorems for nonlinear functionals of one or several independent Gaussian processes. This will extend our early results on fractional Brownian motion and also work for important Gaussian processes, say subfractional Brownian motion and bifractional Brownian motion. For stationary Gaussian processes, we study the convergence of densities in their nonlinear functional CLTs, characterize conditions for convergence of densities, and also give rates of convergence. We study Gaussian processes because they have clear dependence structure. Especially, a few powerful tools, like Malliavin calculus and Stein method, have recently been developed to study them. Moreover, Gaussian processes have very wide applications in finance, statistics and other areas. In the era of big data, we need to study higher order nonliner functionals of several stochastic processes and Gaussian processes. Meanwhile, the development of modern computer techniques will help us study and use these research results.

随机过程的极限理论在概率论中占有非常重要的地位。一般随机过程的相关性结构可以非常复杂，相应的极限理论很难研究。申请人计划研究高斯过程的非线性泛函极限理论。对于一般的高斯过程，计划研究一个和多个独立高斯过程的非线性泛函极限理论。从而推广申请人近几年有关分数布朗运动的结果，并使所得到的理论能够包含次分数布朗运动，双参数布朗运动等常见的重要高斯过程。当高斯过程具有平稳性时，计划研究对应非线性泛函中心极限定理依密度收敛的刻画，给出依密度收敛的条件和收敛速度。我们之所以研究高斯过程是因为它们有较为清楚的相关性结构，近年来发展出一些非常有效的研究工具，如Malliavin积分和Stein方法。另外，高斯过程在金融和统计等领域中有着非常广泛的应用。在当今大数据时代，特别需要研究多个随机过程和高斯过程的高阶非线性泛函。同时现今高速发展的计算机技术也为这方面的研究和成果应用提供了支持。

高斯过程是一类非常重要的随机过程，对其泛函极限理论的研究不仅在概率论中占有非常重要的地位，而且在金融统计等领域中也有非常广泛的应用。本项目定义了一类广泛的高斯过程，这类高斯过程包括了常见的分数布朗运动、次分数布朗运动和双参数布朗运动。对这类高斯过程，我们研究了1)多个独立高斯过程的非线性泛函极限理论，2)由它们定义的一类高斯场的局部时导数，3)由其驱动随机偏微分方程，4)自相交泛函极限理论。首先我们得到了多个独立高斯过程的非线性泛函极限定理和泛函中心极限定理，提出了配对原理，为高斯过程非线性泛函极限理论的研究提供了新思路和工具；然后我们给出了一类高斯场局部时导数存在的充要条件，局部时导数关于时间和空间变量的Holder连续性以及局部时导数近似量的收敛速度，解决了长期以来高斯场局部时导数研究中的不足；之后我们证明了一类高斯噪声驱动的随机波动方程解的存在唯一性，得到了解p阶矩精确上下界估计以及解关于时间和空间变量的Holder连续性，为后续这类随机偏微分方程解的长时间渐近理论的研究奠定了基础；最后我们给出了分数布朗运动自相交局部时导数存在的充分条件，证明了自相交局部时导数关于时间和空间变量的Holder连续性，并在一个临界情形得到了相应的中心极限定理，填补了以往工作在这方面的一个空白。