符号计算在微分-差分多项式动力系统中的应用

稳定性分析和极限环构造问题是动力系统研究的两个基本而又重要的问题。结合符号计算的相关算法进行计算机辅助微分多项式系统的定性分析在近年重新获得重视，本项目一方面拟延续该方面的研究；另一方面，拟将稳定性分析的算法化判断研究范围推广，即考虑：差分多项式系统、时滞微分方程以及分数阶微分方程的稳定性分析的算法化判断；在这些系统的研究中，用来解决代数系统消元法的符号计算算法将不能完全解决问题，我们将采用结合区间运算和符号计算的精确计算算法来解决。在极限环构造方面，对于高维微分多项式动力系统方面的研究通过引入区间运算，可以部分克服符号计算的中间过程膨胀现象，对三维Lotka-Volterra系统的Hopf分支作出更全面的结果。对于离散系统和分数阶微分系统，精确运算的引入也可以为分支现象的研究提供新的途径。

本项目研究的内容是使用计算机代数的相关算法辅助研究微分、差分多项式动力系统的动力学行为，主要是稳定性和中心条件问题。. 在微分多项式系统的稳定性分析方面，利用Routh-Hurwitz判据，Liapunov函数和Lasalle不变性原理考虑微分多项式系统的稳定性，针对一些具体的生物数学的模型，分析了其平衡点的局部和全局稳定性。由于反应扩散方程的平衡解和行波解的研究往往归结为常微分定性分析的相平面的方法，我们也考虑了一些具有扩散项的生物数学模型的行波解的存在性和构造的工作。对于差分多项式动力系统的稳定性分析，主要可以利用Jury条件处理。我们考虑了一些差分方程解的稳定性。理论上讲，对于微分、差分多项式系统平衡解的局部稳定性，均可以代数化转化为多项式的零点分布问题，利用符号计算中的半代数系统的处理方法统一解决。但在考虑一些具体的模型时，往往会遇到计算量过大而程序溢出终止的现象。这需要我们进一步学习计算复杂度方面的知识，对算法的复杂度进行分析。考虑种群生态方程中物种能否共存的问题，通过研究Lotka-Volterra 方程定性永久生存矩阵的一些性质，我们得到4维和5维Lotka-Volterra系统的定性永久生存性的条件。. 同时，我们考虑了利用符号计算处理微分多项式系统的中心和极限环的工作。基于Romanvosky、刘一戎等人的工作，我们得到一些微分多项式系统原点为Sibirsky中心的条件。通过计算某类丢番图方程的基本正规解，构造出系统对应的基本Lie不变量，而其生成的Sibirsky理想的子簇是复系统原点为中心的充分条件，这样得到一般的多项式系统原点为Sibirsky中心的条件。我们考虑了多项式型Lienard系统中心判定问题，将Christopher关于多项式型Lienard系统为中心的代数条件化为多项式复合问题，从而利用多项式复合分解的工具给出判定多项式型Lienard系统为中心的算法。同时，也考虑了微分多项式算子的复合分解问题。对于线性中心的微分多项式系统，我们考虑在线性变换、双线性变换和有理变换下系统成为Poincare对称型系统的充要条件以及其算法实现。