Hopf代数上的Gorenstein同调性质

本项目研究余模范畴中的Gorenstein同调理论，作为应用将进一步讨论Hopf代数上余模的Gorenstein同调性质。本项目将通过对余模的各种包络和覆盖存在性的考查，研究余模的各种Gorenstein同调性质，进而给出Hopf代数上Gorenstein同调余模的刻画。我们要将余代数上余模的Gorenstein同调性质和其对偶代数上模的Gorenstein同调性质联系起来，从而利用模范畴中的Gorenstein同调理论去研究余模范畴中的Gorenstein同调理论，进而在Hopf代数上考虑Gorenstein同调余模的性质，以及与Gorenstein同调模的联系。本项目将经典同调代数理论的应用范围从模范畴拓展到余模范畴，试图得到余模和余代数的更多的同调性质，从而对研究余代数的由余模表述的Gorenstein同调性质，进一步丰富和发展Gorenstein同调代数具有重要意义。

该项目研究工作进展顺利，已完成了项目预设计划的全部内容。本项目首先在比余代数上的余模范畴更一般的范畴—完备和余完备的abelian范畴上，讨论了余挠对的完备性。不仅基本解决了Gillespie在2004年提出的一个公开问题，而且还提供了一个在完备和余完备的abelian范畴上建立模型结构的一个一般方法。特别的，我们在交换环上的平坦余代数上的余模范畴上建立了投射和内射模型结构；在域上余代数上的余模范畴上，建立了Gorenstein投射和Gorenstein内射模型结构。同时，利用这些分解的存在性，我们还在Grothendieck范畴上建立了无界复形的各种维数，给出了这些维数的一些同调刻画。作为应用，我们讨论了余模范畴上的Gorenstein投射维数和Gorenstein内射维数的基本性质。