弱乘子（Hom-）Hopf代数上Galois理论与同调理论研究

In this study, the theories of Galois and homology for (weak) multiplier Hopf algebras and Hom-Hopf algebras are investigated by applying theories of Galois, twisting deformation and homology to Hopf algebras, using the methods of categories, Hom-functors and so on. Firstly, based on the Fundamental Theorem of weak Doi-Hopf modules, we will consider the Fundamental Theorem and cohomology for graded weak Doi-Hopf modules, as well as the Morita context and Galois extension between weak comodule algebras and their coinvariant subalgebras. Secondly, weak L-R smash product and its homological dimension will be studied in view of Dual Theorem of weak L-R smash products. Thirdly, we will construct quantum Yang-Baxter module algebras, braided product and Brauer group on multiplier Hopf algebras by using completion theory and lifting methods. Finally, Schneider affine theorem for Hom-Doi-Hopf modules, and Galois extensions of weak multiplier Hom-Hopf algebras will be discussed by cleft extensions and integral of monoidal Hom-Hopf algebras based on the theory of Hom-comodule algebras.

本项目将Galois理论、扭曲形变理论和同调理论应用于Hopf代数，通过范畴和Hom-函子等同调方法，研究弱乘子Hopf代数和Hom-Hopf代数上的Galois理论和同调理论。首先，基于弱Doi-Hopf模的结构定理，研究分次形式的弱Doi-Hopf模的结构定理及其上同调，以及研究弱余模代数与他们的余不变子代数之间的Morita关系和Galois扩张。其次，基于弱L-R smash积的对偶定理，研究弱L-R smash积及其同调维数。再次，利用模的完备化理论和“提升”方法，在乘子Hopf代数上构造量子Yang-Baxter模代数和辫积以及Brauer群。最后，基于Hom-余模代数理论的建立，通过cleft扩张，monoidal Hom-Hopf代数的积分，研究Hom-Doi-Hopf模的Schneider型仿射定理，并探讨弱乘子Hom-Hopf代数上的Galois扩张。

在弱Hopf-Galois扩张条件下，由Caenepeel等人证明的弱Hopf模结构定理，建立弱余模代数之间的Morita关系，以及建立它们的余不变子代数之间的Morita关系。反之， 由Kreimer-Takeuchi定理和Schneider型定理，研究弱Doi-Hopf模的结构定理，以及建立弱余模代数之间的Morita等价关系等。 .自弱Hopf代数被引入之后，弱Hopf代数的结构也就被众多科学家关注和研究。运用积分及正则积分，证明了弱余模代数的Wedderburn Malcev定理以及Levi定理，推广了前人的工作及结果。.在弱乘子Hopf代数上，研究了量子Yang-Baxter模代数，smash积代数，以及量子Yang-Baxter模的基本结构定理等。 .由Hom-余模代数建立Hom-Doi-Hopf模范畴,并由Hom-余模代数的结构定理及Hom-Hopf Galois扩张理论研究Hom-Doi-Hopf模上的自同态代数的结构定理。.通过代数的扭曲形变理论和方法，研究monoidal Hom-Hopf代数的Galois扩张，交叉积扩张，以及研究Frobenius Hom-Lie代数及其量子Hom-Yang-Baxter方程等。.基于Bi-Frobenius代数的已有研究成果，以及项目课题组在Hom-Hopf代数上的研究基础，研究了Bi-Frobenius Hom-代数的子代数结构，给出了Bi-Frobenius Hom-代数的对极S的Radford公式，并刻画了Bi-Frobenius Hom-代数的Maschke定理等。.除此之外，研究了Cluster代数的斜对称,广义路代数的表示，Rota-Baxter代数与Rota-Baxter配对模的刻画与表示，以及Cluster公式等一些重要结果。.本项目成员共发表核心研究论文36篇，其中SCI收录论文28篇（见研究成果）。.这些成果有力揭示弱Hopf代数、弱乘子Hopf代数、Hom-Hopf代数、Cluster代数、路代数、Rota-Baxter代数上的代数结构、表示、Galois 扩张及同调维数等，填补代数学研究领域的成果空缺，同时大力推进和发展了Hopf代数的研究成果。