微分分次范畴的同调维数、recollements和Morita理论

The main object of project is to study the homological dimensions of differential graded modules, recollements and Morita theory of differential graded categories. Through the characterization of various homological dimensions of dg modules and the relations between them, we will establish amplitude inequality, derived depth formula, derived width formula, Auslander-Buchsbaum formula and Bass formula of dg modules on more general dg algebras; search the judgment criterion for the existence of recollement in the derived category of three dg algebras; attempts to construct various recollements of homotopy categories and derived categories of dg algebras, and then establishes the relation between finite dimension and global dimension of dg algebras; further study Morita theory of dg category by using model structure theory, discuss the equivalence of bounded (unbounded) derived categories and homotopy categories of two dg algebras, and Quillen equivalence of the categories of modules of two dg algebras spectrum. The study of this project will enrich and develop the homological dimension theory of dg modules, recollements and Morita theory of homotopy categories and derived categories, and further promote the development of algebra and other subjects.

本项目主要研究微分分次模的同调维数及微分分次范畴的recollements和Morita理论。通过对dg模同调维数的性质及相互间关系的刻画，试图在更一般dg代数上研究dg模的amplitude不等式、导出深度公式、导出宽度公式、Auslander-Buchsbaum公式和Bass公式成立的条件；寻找三个dg代数的导出范畴间recollement存在的判断准则，试图构造dg代数的同伦范畴和导出范畴间的各种recollements，进而建立dg代数的有限维数和整体维数间的相互关系；利用模型结构理论进一步研究dg范畴中的Morita理论，讨论两个dg代数的有界(无界)导出范畴和同伦范畴的三角等价，讨论两个dg代数谱的模范畴作为模型范畴的Quillen等价。本研究将丰富和发展dg模的同调维数理论及其导出范畴的recollement和Morita理论，以推动代数学及其它学科的进一步发展。

同调维数是同调理论研究的核心，历史上重要的同调维数有：投射、内射和平坦维数。Apassov从分解和函子的观点研究了dg模的同调维数。Frankild和Jørgensen研究了局部链dg代数上dg模的k-投射和k-内射维数。Jørgensen利用同调有限生成紧dg模解释了局部链dg代数的有限整体维数。毛雪峰和吴泉水教授证明了联通dg代数上紧dg模的AB公式和Bass公式。Iversen证明了局部环上复形的amplitude不等式。项目负责人和王莉、饶炎平博士通过研究非正的dg环上dg模的k-投射和k-内射维数、分解投射和内射维数、函子投射和内射维数的同调性质，讨论了这些维数间的关系；建立了dg环上的导出深度公式、Auslander-Buchsbaum公式和Bass公式；证明了交换noetheriandg环上，通过Koszul同调、RHom同调、局部上同调产生了同一个不变量，给出了dg模的深度的计算和一些有限性结果；证明了经典的amplitude不等式的dg版本。.三角范畴的recollement是Beilison等人为了研究层的导出范畴的结构而提出的，现已变成理解代数、几何和拓扑对象间关系的有力工具。Kuhn将recollement用于代数表示论、代数拓扑和代数K-理论中多项式函子的研究；Angeleri Hügel,Koenig和刘琼华老师讨论了recollement与tilting理论、同调猜想和环的导出范畴的分层的关系；陈红星和惠昌常教授研究了导出范畴的recollement中三个代数的有限维数和整体维数；Psaroudakis研究了Abel范畴和三角范畴的recollement中三个范畴的整体维数的刻画。项目负责人和陈文静副教授、曹天涯博士通过Abel范畴中的完备遗传余挠对，建立了一个强的左Frobenius对，进而给出了Abel范畴上的一个唯一的投射模型结构；研究了Ding奇点范畴和GorensteinAC奇点范畴，建立了相应范畴间的一些t-结构和余t-结构，进而得到了这些范畴间的一些recollements和导出等价；研究了相对于余挠对的范畴间的recollements和导出等价；研究了Ding亏范畴和GorensteinAC亏范畴中的一些导出等价；研究了Abel范畴中的完备余挠对与模型结构间的关系。