同伦范畴的recollement、(余)t-结构和同调维数理论

The main object of project is to study the recollement,(co)t-structure of homotopy categories and homological dimension theory of complexes. We will study the existence of precover and preenvelope of objects in the category of Abel complexes and study completeness of cotorsion pairs,to establish triangulated adjoint functors and (co)t-structures of homotopy categories, to find general conditions of existence of triangulated adjoint and (co)t-structure. We will establish recollement and derived equivalences of homotopy categories by using of localising and colocalising sequences and model sreucture theories, and consider the relationships between cotorsion pair, model structure, recollement and (co)t-structure in Abel categories and homotopy categories. Base on the suitable cotorsion pairs and the induced model structures, we will develope the general theory of homological dimensions of the infinite complex. In view of model structures and derived equivalences, we will give some homological characterizations of these dimensions and consider differences and relations between different dimensions. The new ways of establishing and computing derived functor cohomology group will follow from our results by choosing of cotorsion pairs. Further, we will study more homological properties of complexes. The study of this project will enrich and develop the recollement, (co)t-structure of homotopy categories and homological dimension theory of complexes, and further promote the development of algebra and other subjects.

本项目主要研究同伦范畴的recollement、(余)t-结构和复形的同调维数理论。我们将从Abel复形范畴中各种预覆盖预包络的存在性和余挠对的完备性出发，建立同伦范畴间的三角伴随函子和(余)t-结构，探求三角伴随和(余)t-结构存在的一般条件；利用局部化余局部化序列和模型结构理论，构造同伦范畴的recollement和导出等价，并考查Abel范畴和同伦范畴中的余挠对、模型结构、recollement和(余)t-结构之间的相互关系；从满足一定条件的余挠对和诱导的模型结构出发，开展无界复形同调维数一般理论的研究；利用适当的模型结构和导出等价给出各种维数的同调刻画及不同维数的区别和联系；通过余挠对的不同选取得到建立和计算导出函子同调群的新途径，进而研究复形的更多同调性质。本研究将丰富和发展同伦范畴的recollement、(余)t-结构和复形的同调维数理论，以推动代数学及其它学科的进一步发展。

该项目研究工作进展顺利，已完成了项目预设计划的全部内容。Kapranov于1996年提出的N-复形的概念，研究N(≥3)个相邻态射合成为零的序列。然而到目前为止，对N-复形范畴及同伦范畴的结构尚无相应的研究结果。本项目利用N-复形范畴中的loop函子和suspension函子提供了该范畴中左右三角的有效构造方法，证明了N-复形范畴的同伦范畴和导出范畴是预三角范畴；利用 N-复形同伦范畴中左右三角的构造，讨论了N-复形范畴中dg-投射分解和dg-内射分解的存在性，证明了一些特殊同伦范畴的紧生成性质，建立了这些范畴间的一些三角伴随、recollements和导出等价。这些研究可以使上述范畴中 Brown 表示定理及其对偶的有效性，也提供了各种伴随对存在的基础。考查了Abel范畴中的余挠对如何诱导出其N-复形范畴中的更多余挠对和Hovey三元组及Abel范畴和同伦范畴中的余挠对、模型结构和recollement之间的相互关系；从满足一定条件的余挠对和诱导的模型结构出发，开展了无界复形同调维数一般理论的研究；利用适当的模型结构和导出等价给出了各种维数的同调刻画及不同维数的区别和联系；通过余挠对的不同选取得到建立和计算导出函子同调群的新途径，进而研究了复形的更多同调性质。从三角真类的定义出发，给出了三角真类中三角的直接判定，避免了三角范畴中足够投射对象的存在性假设；定义了一般三角范畴中相对于三角真类的模型结构和余挠对，建立了它们间的一一对应关系，并研究了三角范畴中的Gorenstein同调理论和模型结构；研究了一些特殊三角范畴中对象的深度，给出了上同调有界和上同调有限对象的深度的一个上界。研究了复形稳定同伦理论的Tate同调的消失性和平衡性，讨论了Ding奇点范畴的同调性质并建立了一些t-结构和余t-结构；利用完备平坦分解给出了Christensen和Jorgensen’s意义下Tate同调的一个新计算方法，进而给出了导出深度公式的一个简单证明。