弦代数的 Gorenstein 同调性质及其奇点范畴

From recent results of Gorenstein projective modules, it indicates that we can describe Gorenstein projective modules over string algebras. In this program, we shall study Gorenstein homological properties and singularity categories of string algebras. In fact, string algebras contain a plenty of algebras, such as Nakayama algebras and gentle algebras. Further, string algebras have many nice properties. In this program, we shall construct Gorenstein projective modules and study structures of the stable categories of Gorenstein projective modules over string algebras. And we will give some sufficient and necessary conditions of Gorensteinness of string algebras. Moreover, we will get some Calabi-Yau categories of fractual dimensions by the monomorphism categories of Gorenstein projective modules over Gorenstein string algebras. Then we shall describe the graded Gorenstein projective modules over string algebras and study their stable categories. Further, we shall find out the subclass of string algebras which the stable category of graded Gorenstein projective modules has a (cluster) tilting object. At last, we shall study singularity categories of string algebras. For Gorenstein string algebras, we shall describe them by using Gorenstein projective modules. For non-Gorenstein string algebras, we shall use other motheds to compute them. These studies are very important for discovering the representation-properties and Gorenstein homological properties of string algebras. And it is also important for Gorenstein homological algebra. We will get some new results in these directions. Moreover, these studies will give new points and tools to study string algebras, furthermore for biserial algebras.

最近研究表明，弦代数的G-投射模是可刻画的。本项目拟系统研究弦代(string algebra)的Gorenstein同调性质及其奇点范畴。弦代数是非常广泛的一类代数，包括Nakayama代数和gentle代数，且具有良好性质。 本项目拟构造弦代数的G-投射模，由此得到G-投射模稳定范畴的结构，并给出Gorenstein性的充要条件；通过与单态射范畴相结合,构造分数维Calabi-Yau范畴；同时刻画其上分次G-投射模及其稳定范畴的结构，并找出分次G-投射模稳定范畴具有倾斜对象的子类；利用G-投射模和其他方法刻画弦代数的奇点范畴。 这些研究对进一步揭示弦代数的同调和表示论性质以及对Gorenstein同调代数都具有重要的科学意义，将在相关方向取得新成果，对弦代数乃至双列代数提供新的独特视野和工具。

本项目原计划研究弦代数的Gorenstein(下称G)投射模的构造、奇点范畴等, 但此问题于2015年初被中科大陈小伍及其合作者解决, 相关论文见arXiv:1501.02978和arXiv:1502.02094. 此种情况也表明原本立项的合理性和可行性, 已在2015年进展报告中提及. 于是, 不得不调整研究方向, 改为研究单态射范畴的性质及其应用, 特别是构造G投射模; G投射模范畴在稳定等价下的不变性; 加法范畴的粘合等. G投射模在G同调代数中具有重要的地位, 而G投射模稳定范畴与代数的奇点范畴关系密切. 构造给定代数上所有G投射模是非常困难的问题, 至今只对某些代数有较好结果. 而单态射范畴对于构造两个代数的张量积上的G投射模是强有力的武器. 而单态射范畴因自身的丰富结构, 可为一些与范畴相关的问题提供例子...本项目得到的重要结果如下: ..一. 利用同调代数的方法将单态射范畴推广到任意两个有限维代数A和B的张量积上, 并给出当A或B为G代数时, 张量积上G投射模范畴恰好是B相对于A上G投射模范畴的单态射范畴的充要条件, 推广了已知结果; 利用滤链范畴对两个G代数的张量积上的G投射模范畴给出刻画...二. 设A是代数闭域上的有限维代数, N是消解A上所有node而得到的代数. 证明了N的G投射模稳定范畴可以看作是A的G投射模稳定范畴的有厚度三角子范畴; 当N是G代数时, A上的G投射模范畴即正则模A的左正交范畴; 当N的整体维数有限时, A上非投射G投射模的数目被A的node的个数以及N的整体维数所控制...三. 定义了由双模所诱导的单态射范畴和满态射范畴,并研究了其基本性质, 特别是投射对象, 内射对象和单对象; 并利用所定义的单态射范畴给出了一个加法范畴粘合的非平凡的例子, 即此例子不是三角范畴粘合, 不是Abel范畴粘合, 也不是正合范畴粘合...四. 给出了两种从 Abel 范畴粘合得到正合范畴粘合的方法; 给出了正合范畴粘合何时是 Abel 范畴粘合的一些充分条件, 并研究了抽象 Abel 范畴粘合何时为模范畴粘合.