克里佛德代数结构框架下高维空间中若干问题的研究

Clifford 分析是最近30多年才兴起的数学分支，是建立在Clifford代数结构下复分析向高维空间中的一种推广，有着类似于复分析的一种函数理论。借助此结构，许多高维空间中函数理论可以类似于复分析中的函数理论来研究，因此Clifford 分析是解决高维空间中函数理论的一种有效的方法。本项目研究在Clifford代数结构框架下高维空间中函数的值分布情况以及奇异积分算子理论与边值问题。

克里佛德代数是复数域向高维空间中的推广，早在100多年前就已经被建立起来了。而克里佛德分析是最近30几年才兴起的数学分支，是建立在克里佛德代数结构下复分析向高维空间中的一种推广，有着类似于复分析的一种函数理论。借助此代数结构，许多高维空间中函数理论可以类似于复分析中的函数理论来研究，因此克里佛德分析被认为是解决高维空间中函数理论的一种有效的方法。本项目在克里佛德代数结构框架下，利用克里佛德分析研究了高维空间中函数的零点情况以及高维空间中的解析信号。我们主要得到如下结果：.对于高维空间中函数的零点，我们分别讨论了多项式函数以及解析函数的零点情况。我们得到：高维空间中实系数多项式函数和实系数解析函数一定有零点，它们或者是实值的孤立零点或者是球形共轭零点, 并且给出了具体求零点的方法。高维空间中克里佛德值系数的解析函数，我们研究了它们零点的结构。指出它们不一定有零点，为此我们举出了例子。特别地，对于具有向量值系数的多项式函数，我们得到了此类函数有零点的一个充分必要条件。利用此结果，可以推出四元素中的代数学基本定理。.对于高维空间中的解析信号，我们给出了信号的相位以及实值相位导数的定义。作为相位导数的应用，我们得到了联系相位导数与傅里叶频率关系的许多基本的结果。这些是一维空间中有关相位导数的最新结果向高维空间中的推广。我们还得到了高维空间中两类信号的测不准原理，一类是实值的信号，另一类是具有轴形式的克里佛德值的信号。另外，我们还研究了高维空间中能量有限的解析信号在加权柯西核的集合中的自适应分解与有理函数的快速逼近等问题。这些结果对于彩色图片的处理、边缘探测等等在理论和应用上都将有着很重要的意义。