克里弗德分析中施瓦茨引理及边值问题

In this project, we mainly study Mobius transformations, Schwarz lemma and some boundary value problems. It includes: Schwarz-Pick type lemma, Riemann boundary value problems with varied coefficients in Clifford analysis, Riemann-Hilbert boundary value problems, compound boundary value problems, Dirichlet type boundary value problems, Neumann type boundary value problems and singular integral equations in Clifford analysis. These problems relate with the estimation of kernel functions, index problems, canonical functions, Mobius transformations, Schwarz reflection, integral representations for k-regular functions, the boundary behaviour of Cauchy type integral, the integral formulas for change of variables under Mobius transformations and the normalization problems of singular integral equations etc.. The Schwarz lemma, the boundary value problems and singular integral equations in Clifford analysis framework are not simply generalized for classical theory. From the plane to higher dimensions, from the background of comutative algebra to the background of non-comutative algebra, many classical results do not automatically hold, the problems become more complicated, the method, tools and technique must be independently rebuilt on the basis of the classical theory. These work will build some important theory basis for higher dimension hyper complex analysis.

本项目研究Clifford分析中Mobius变换、施瓦茨引理及若干边值问题，包括：Schwarz-Pick型引理、Clifford分析中带变系数的Riemann边值问题、Riemann-Hilbert边值问题、复合边值问题、Dirichlet型边值问题、Neumann型边值问题和奇异积分方程。这些问题涉及到核函数估计、指标问题、典则函数问题、Mobius变换、Schwarz对称扩张、正则函数积分表示、Cauchy型积分边界性质、曲面积分的变量替换公式和奇异积分方程正则化问题等。在Clifford分析框架下研究施瓦茨引理、经典边值问题和奇异积分方程等理论并非对经典问题进行简单移植和平行推广，从平面到高维空间，从交换代数的背景到非交换代数的背景，使得许多平面中基本结果受到颠覆，问题变得更复杂、处理方法和研究工具必须在经典思想基础上进行本质重建。上述研究工作会为高维超复分析建立必要理论基础。

本项目主要得到了一些Clifford分析中与边值问题相关的超复函数的积分表示理论以及施瓦茨型引理，主要有以下几方面的成果：（1） Clifford分析中正则函数在无界区域上的积分表示；（2） Clifford分析中双正则函数及调和函数在无界区域上的积分表示；（3）取值在C(V_{n,0})中的调和函数、正则函数及反正则函数的Schwarz型引理及Schwarz-Pick型引理；（4）Clifford分析中超复数的欧拉表示；（5）一般情形的Mobius变换及其性质；（6）上半空间中的Schwarz型引理及Schwarz-Pick型引理；（7） L_2(R)和L_2(T) 上的Hilbert变换；（8）一般情形下的Clifford分析中Gauss-Green公式。.. 上述结果把部分经典的边值问题理论和复分析中很重要的施瓦茨引理推广到了高维。