李代数的结构与表示中的若干问题

弄清量子环面Cq上的矩阵,行列式等的运算及相关性质;从研究李代数sl(2,Cq)的Cartan子代数的共轭性和自同构等问题入手,进而研究一般的扩张仿射李代数的相关问题.通过寻找Hom-李代数的例子并研究其性质,试图对有限维Hom-李代数进行分类,并研究其表示.利用Cartan型李代数的广义限制李代数结构,将Cartan型李代数的表示问题转化为结合代数的表示问题,对小特征数域上模李代数表示进行分类,并找出其同构类的代表元. 研究非阶化广义Weyl型李双代数的结构,在此基础之上构造一类新的量子群.研究广义Block型李代数的表示,解决非阶化Block型李代数的中间序列模的分类问题.通过改进计算方法,确定秩不超过4的单代数群在特征3的代数闭域上的全部不可约特征标；研究代数群及相关的李型有限群的上同调理论和李型有限群的Cartan不变量的一般性质,研究代数群的模表示理论在几何中的应用.

围绕项目计划书的研究内容，项目组成员在量子环面上李代数及其Cartan子代数的共轭性、Hom-李代数的结构与表示、Cartan型李代数的模表示、共形李代数与Block 型李代数的结构与表示、李型有限群的Cartan不变量以及扩张仿射李代数上的非交换Poisson代数结构等方面积极展开研究工作，参加国内外学术交流。目前已正式出版发表论文13篇，接受录用论文3篇，完成并投稿待发表若干。在人才培养方面，有两名硕士毕业，一名博士毕业。组织举办了两届中日合作的《表示论工作营》。