基于有限反射群的克里佛德分析若干问题的研究

In recent years, Clifford analysis has become a very important tool to solve some problems in higher dimensional spaces. A lot of famous mathematicians, such as A. McIntosh and S. Wu, have paid more attention to this topic. In this project, we consider the harmonic analysis theory for finite reflection groups by using Clifford analysis. Following the idea from Clifford analysis, we consider a kind of Dirac operator, called Dunkl-Dirac operator. Then we estimate the Dunkl translation operator, especially for Abel group and Dihedral group. Finally, by Dunkl transform in the distribution sense, we study the general Fueter's Theorem in Dunkl-Clifford analysis. Based on this project for working on some hot and open problems, we are expecting to obtain some very impressed results in a few years. Besides, this project will promote the progress of our younger researchers and graduate students for the future.

由于Clifford分析在解决一些高维空间中问题的重要性，所以包括A. McIntosh，邬似珏等在内的许多著名数学家都对此数学分支给予了极大的关注。 本项目拟用Clifford分析的工具来研究有限反射群上的调和分析理论。利用Clifford分析的思想，我们从整体上考虑Dunkl算子，即考虑Dunkl-Dirac算子。并从最特殊的Abel群和Dihedral群出发，深入研究Dunkl平移算子的性质。最后利用分布意义下的Dunkl变换来研究Dunkl-Clifford分析框架下的Fueter定理及其应用。 通过对这些热点问题和尚未完全解决的公开问题进行研究，我们希望在未来几年内能取得在国内外具有一定影响的成果，并促进我们这个年轻队伍的学术成长和研究生的培养，为将来更深入的研究工作奠定基础。

近年来，Clifford分析逐渐成为解决一些高维空间中问题的重要工具。本项目首先进一步发展了Clifford分析的理论，尤其是最基本的四元素分析理论，并考虑其在信号分析和工程控制领域中的应用。其次，利用所发展的Clifford分析理论来研究有限反射群上的调和分析理论。经过三年的研究，主要取得了如下几方面的研究成果：(1). 证明了一般p方可积函数四元素Fourier变换的实Paley-Wiener定理；(2). 得到了高维空间中Fourier变换的一些列更强的不确定原理；(3). 考虑了一种修正的基于自适应Fourier分解的算法，得到了较好的逼近效果; (4). 利用高维Fourier分析中非常精细的能量估计，得到了流体力学中只有水平方向色散的Hall-MHD方程组的一个爆破准则和长时间存在性; (5). 编写了以实变函数与泛函分析为基础的专著《线代算子分析选讲》。基于上述研究，项目负责人已在J. Math. Phys., Complex Var. Elliptic Equ., Int. J. Wavelets, Multiresolut. Inf. Process.等期刊发表学术论文4篇，在科学出版社出版专著1部。这些研究成果是当前Clifford分析的热点和前沿问题，相关研究结果得到了国内外同行的高度评价和广泛引用。