复Finsler几何中的若干问题研究

This research program focuses on the relationship between the real Finsler geometric quantities and the complex Finsler geometric quantities of strongly convex complex Finsler metric, mainly includes: the relationship between the S curvature, flag curvature, Ricci curvature and the holomorphic curvature of a strongly convex complex Finsler metric; the relationship between real Einstein-Finsler metric and complex Einstein-Finsler metric; the relationship between real Landsberg metric, complex Landsberg metric, real Berwald metric, complex Berwald metric and weakly complex Berwald metric, and so on. Then, we will explore the "unicorn" problem in real Finsler geometry. We will Characteristic complex Landsberg metric and will investigate the geometric properties of connected complex Landsberg manifold, and explore the "unicorn" problem in complex Finsler geometry. We will study the doubly warped product of complex Finsler metric, and the doubly twisted product of complex Finsler metric, and will give an effective method of constructing special complex Finsler with good properties, such as complex Finsler metric with constant holomorphic curvature .

本课题主要研究强凸的复Finsler度量对应的实Finsler几何量和复Finsler几何量之间的关系，主要包括：强凸的复Finsler度量对应的旗曲率、S曲率、Ricci曲率与全纯曲率之间的关系;实Einstein-Finsler度量和复Einstein-Finsler度量之间的关系; 实Landsberg度量、复Landsberg度量、实Berwald度量、复Berwald度量以及弱的复Berwald度量之间的关系等。在此基础上，探索实Finsler几何中的“独角兽”度量问题。研究复Landsberg度量的微分刻画以及连通的复Landsberg流形的几何性质，并探索复Finsler几何中的“独角兽”度量问题。研究复Finsler度量的双扭曲积、双挠积，给出构造具有好的性质的特殊复Finsler度量的有效方法，如具有常全纯曲率的复Finsler度量等。

复Finsler几何广泛应用于物理学、生物学、工程技术、控制论和广义相对论等方面。值得一提的是，强凸的复Finsler度量实际上在实和复Finsler几何之间架起了一座桥梁。本项目得到一个刚性定理：在强凸的弱Kähler-Finsler条件下，任意一个实Landsberg度量一定是复Landsberg度量；且实Berwald度量、实Landsberg度量、复Berwald度量、弱的复Berwald度量之间相互等价。我们还研究了实Finsler度量双挠积的若干几何量。. 在复Finsler几何中，比较缺乏特殊复Finsler度量的具体例子。为了构造特殊的复Finsler度量，我们系统研究了双挠积复Finsler度量。给出了复Finsler度量的双挠积的全纯曲率、Ricci数量曲率和实测地线的公式；给出了构造弱Kähler-Finsler度量、复Berwald度量、弱的复Berwald度量、复局部Minkowski度量、复Einstein-Finsler度量的有效方法；研究了复Finsler度量的双挠积的局部射影平坦性、局部对偶平坦性以及局部共形平坦性。. 研究了双扭曲积Hermitian流形上的各种曲率。建立了双扭曲积Hermitian流形上的曲率（如陈曲率，陈Ricci曲率和陈Ricci数量曲率等)与其分量流形上的相应曲率之间的关系；给出了紧致非平凡的双扭曲积Hermitian流形具有常全纯截面曲率的充要条件；给出了一种构造满足第一或第二Einstein条件的Hermitian流形的有效方法。此外，研究了涉及例外函数是全纯函数的正规性和拟正规性问题以及亚纯函数族的Picard型问题，得到系列结论，这为研究全纯复Finsler度量的内在几何和分析性质奠定了一定基础。