复Finsler空间的几何函数论

First, let M be a complex manifold and F be a smooth pseudoconvex complex Finsler metric on M. We will study the geometric function theory of complex Finsler manifold (M,F). Especially we shall study the geometric and topological properties of those weakly Kaehler Finsler manifolds and Kaehler Finsler manifolds, which have constant holomorphic sectional curvatures. In addition, we shall study various kinds of submanifolds of Kaehler Finsler manifolds, including its complex submanifolds, real submnanifolds and Cauchy-Riemann submanifolds. .Second,let E be a holomorphic vector bundle over M, which admits a smooth pseudoconvex complex Finsler metric F along its fibers. We will study the geometry of complex Finsler holomorphic vector bundle (E,F). We will mainly investigate the geometric characterizations of complex Finsler-Einstein manifold and complex Finsler-Einstein vector bundles.In addition, we shall give some possible applications of comlex Finsler geometry to complex hyperbolic geometry, thereby giving some algebraic-geometric characterizations of complex Finsler metrics which are negatively curved.

首先，设M为复流形，F为M上的光滑的、强拟凸的复Finsler度量。本项目将研究复Finsler流形(M,F)的几何函数论,特别是研究具有常全纯曲率的弱Kaehler Finsler流形与Kaehler Finsler流形的几何与拓扑性质。此外，也将研究Kaehler Finsler流形的各种子流形理论，包括它的复子流形、实子流形和Cauchy-Riemann子流形的几何性质。.其次，设E为复流形M上的全纯向量丛，E的纤维度量为光滑的、强拟凸的复Finsler度量F。 本项目将研究复Finsler全纯向量丛(E,F)的理论，特别是研究复Finsler-Einstein流形及复Finsler-Einstein全纯向量丛的几何刻画。此外，我们也将研究复Finsler几何在复hyperbolic几何中的应用,主要是寻找全纯截面曲率为负的复Finsler度量的代数几何刻画。

芬斯勒几何是已故著名数学家陈省身教授晚年倡导的研究课题。实芬斯勒几何已获得广泛应用，它是物理、生物、力学、控制论中许多问题的模型。复芬斯勒度量由G. Rizza于1964年引入。1975年S. Kobayshi证明：一个紧复流形上的全纯向量丛是负的充分必要条件是该向量丛容许一个凸的、具有负曲率的复芬斯勒结构。1981年，L. Lempert证明：在复欧几里得空间中的有界且具光滑边界的凸区域上，Carathéodory度量和Kobayashi度量相同，且是强拟凸的复芬斯勒度量。1994年，M. Abate和G. Patrizio出版了首本复芬斯勒几何专著，并展示了复芬斯勒几何在多复变几何函数论中的深刻应用。..在本项目中，我们主要研究了以下内容：复芬斯勒联络的刻画及弱的复Berwald度量；酉不变的复芬斯勒度量；凯勒芬斯勒度量和弱凯勒芬斯勒度量；强凸的弱凯勒芬斯勒度量的旗曲率与全纯曲率的关系；强凸的凯勒芬斯勒度量的例子；T.Aikou意义下的复Einstein-Finsler向量丛的几何性质。我们得到了复Rund联络、复Berwald联络、复Hashiguchi联络的刻画，证明了复芬斯勒度量的共形变换是弱的复Berwald度量的充分必要条件是所给复芬斯勒度量为弱的复Berwald度量。证明了在复Minkowski度量作共形变换所得到的复Berwald度量中，不存在全纯曲率为非零常数的复芬斯勒度量。我们首次引入了酉不变的复芬斯勒度量的概念，给出了它的刻画，这类度量是可计算的，由此可得大量强凸的复芬斯勒度量的例子。证明了在酉不变的复芬斯勒度量中既不存在凯勒芬斯勒度量，也不存在复Berwald度量，但存在大量弱的复Berwald度量，我们给出了具有常数全纯曲率的、弱的复Berwald度量的分类定理。通过引入一个埃米特张量，证明了弱的凯勒芬斯勒度量是凯勒芬斯勒度量的充分必要条件是该埃米特张量恒为零。作为应用，证明了在弱的复Berwald度量中，不存在弱的凯勒芬斯勒度量。我们给出了强凸的弱凯勒芬斯勒度量具有常旗曲率的充分必要条件，证明了强凸的弱凯勒芬斯勒度量如果具有常数旗曲率，则它必具有常数全纯曲率。我们给出了强凸的凯勒芬斯勒度量的例子，并证明了T. Aikou意义下的复爱因斯坦芬斯勒向量丛是一个模复闵可夫斯空间。