随机微分方程高性能数值算法理论与应用

本项目将基于冯康的思想开展在生物、金融和力学等领域中起重要作用的随机微分方程高性能数值算法的理论与应用研究，重点研究保持原系统物理特性、数学结构与应用需求特征的数值方法的构造、分析与应用。拟利用现代数学方法进行理论数值分析、结合计算机数值实验和在生物、金融与力学等领域中的应用揭示随机算法的一些重要本质特征，突破保持原系统物理特性、数学结构与应用需求特征的随机微分方程数值算法的构造、数值分析以及应用中的重点、难点与热点问题。在发展有关随机算法理论的同时，拓广和深化高性能随机算法在生物、金融与力学等领域中的应用，进一步发挥数值算法在理解、预言和发现生物、金融与力学等领域中新现象的分析和预测功能。

本项目聚焦于随机微分方程高性能算法的前沿课题，取得了一系列重要研究成果。在随机微分方程的保结构算法方面，提出了随机哈密尔顿系统随机辛几何算法的随机变分积分子方法和随机生成函数理论；在弱收敛意义下揭示了随机辛几何算法具有长时间数值计算优势的内在机理；基于随机变分原理和随机多辛几何理论提出了无穷维哈密尔顿系统的随机辛几何算法和随机哈密尔顿偏微分方程的随机多辛几何算法，分别给出若干构造方法和算法理论分析结果；在对随机电磁学的应用中，发现随机辛算法和随机多辛算法均能保持原数学模型的重要统计物理性质。在收敛性及稳定性分析方面，对随机薛定谔方程的时间半离散和倒向随机微分方程数值方法建立了基本收敛性定理，发现了局部均方阶与全局均方阶的关系，提出了均方收敛阶的一般性判别准则；给出了随机θ方法保持线性随机微分方程均方稳定性的条件，证明了分裂步θ方法能保持非线性随机微分方程的均方指数稳定性；研究了Itô-型随机微分方程一类含参预校算法的稳定性, 给出了该方法的几乎必然稳定和矩指数稳定判据。对于正倒向随机微分方程，通过引入倒向正交多项式的新概念，提出了求解布朗运动和跳驱动的非耦合正倒向随机微分方程组、全耦合正倒向随机微分方程的高精度、强稳定、高度并行的数值方法；提出了G-布朗运动的数值模拟方法以及求解正倒向随机微分方程的高精度和强稳定的递延算法。对于随机延迟微分方程，在耦合性条件下证明了θ方法的均方指数稳定性、分裂步θ方法具有强收敛性并能保持原系统的均方耗散性；提出研究数值方法的延迟依赖稳定性这一新课题，对一类线性随机延迟微分方程，获得随机θ方法均方渐近稳定的完整延迟依赖稳定区域；对一类非线性系统证明了随机向后欧拉方法能无条件保持连续系统的延迟依赖稳定性。对于高维随机参数输入的偏微分方程，构造了高维空间的确定性样本，证明了多项式离散投影方法的稳定性及收敛性，消除了失败概率；提出了通过平衡态测度进行抽样的随机配置方法，证明了算法的稳定性和收敛性，并将这个框架整体推广到压缩感知方法之中，取得相关的稳定性及收敛性结果，较大地降低了计算量。本项目在J. Comput. Phys.、J. Comput. Math.、Numer. Math.、SIAM系列刊物等国际性学术期刊上发表论文50余篇，研究成果得到国际同行许多肯定性引用和好评，并引发若干后续性研究。