几类多维非线性微分方程的高性能数值算法研究

Several kinds of nonlinear evolution equations, such as nonlinear delay integro-differential equations and time fractional differential equations, are widely used to model many phenomena in biological science, mechanics and finance. Generally speaking, it is very difficult to numerically solve the equations because of the weak regularity of the exact solutions, the nonlinearity and the non-locality of the problems. The purpose of this project is to develop and analysis some efficient numerical methods for solving some models, whose rates of variation depend on history. The project mainly includes the following: 1) Constructions of efficient numerical methods which can preserve long time behavior of differential equations. 2) Optimal error estimates of linearized numerical methods for the high-dimensional nonlinear evolution equations 3) Absorbing boundary conditions for several nonlinear partial differential equations on unbounded domain and their numerical analysis. These studies not only can promote the development in numerical methods for the related fields, but also can be applied in mathematical modeling, numerical simulations and so on.

以延迟积分微分方程和时间分数阶微分方程等为代表的几类非线性发展方程,广泛应用于模拟生态学、力学、金融学等学科的关键问题。这类方程由于解析解的弱正则性、实际模型的高维非线性和时间上的非局部性，使得长时间数值模拟和仿真存在一定的困难。本课题主要考虑构造和分析一些高性能数值算法，求解这些依赖历史信息变化的模型。主要研究内容包括以下几个方面：1）基于冯康的思想，发展保持多维原系统长时间动力学性态的高性能算法；2）结合模型特点，探讨几类高维非线性发展方程的最优线性化数值算法及误差估计；3）面向实际问题，研究空间无界区域上几类非线性偏微分方程的吸收边界条件及其数值分析。这些研究不仅能促进相关领域算法的发展和研究，而且可为数学建模、数值仿真等领域提供一定的理论支撑。

以分数阶微分方程、偏积分微分方程、反应扩散方程为代表的几类发展方程广泛应用于模拟生态学、力学、金融学等学科的关键问题。这类模型由于解的弱正则性、非局部性、高维非线性，数值求解和分析存在一定的困难。本课题在充分考虑这些困难的基础上，构造一系列高性能数值算法，并分析了这些算法的数值动力性形态。主要包括 1）构造了几类保持原系统动力学形态的高精度数值算法 2） 获得了几类高维非线性发展方程的最优线性化数值算法及误差估计； 3） 得到了空间无界区域上几类非线性偏微分方程的吸收边界条件及其数值分析结果。系列结果发表在《SIAM. J. Sci. Comput.》、《SIAM. J. Numer. Anal.》、《Sci. China. Math.》、《J. Sci. Comput.》等计算数学顶级期刊上。