几类时滞随机微分方程数值算法的研究

In the financial and ecological field, the coefficients of the stochastic differential equation models do not meet the convergence theory condition----the global Lipschitz condition and the linear growth condition. So for several kinds of common stochastic delay differential equation in science and engineering, the convergence and the stability of the numerical methods are studies in our project. It includes the following content: (1) The tamed balance methods are built for stochastic delay differential equations in the coupled condition. The convergence and the mean square stability are studied; (2) For the delay CIR model in the financial system, the numerical method with strong convergence is established; (3) For the stochastic differential equation with unbounded delay---stochastic pantograph delay differential equation, the numerical methods with implicit drift term are constructed on the one side Lipschitz condition and the polynomial growth conditions. The convergences are studies and the orders are obtained. (4)For the stochastic delay integro-differential equation, the split-step balanced methods are established in the coupled condition. The order of the convergence and the condition of the mean square stability are established. The results of this project will enrich the algorithm theory of the stochastic delay differential equations. It will have the important application in the fields such as finance、 ecology.

在金融、生态领域中许多随机微分方程模型系数通常是不满足经典的数值收敛理论条件——全局Lipschitz条件和线性增长条件，因此本项目针对科学与工程中常见的几类随机时滞微分方程，在非全局Lipschitz条件下研究数值方法的收敛性和稳定性， 具体内容包括: (1) 在一定的耦合条件下，构建适合随机常延迟微分方程的驯服平衡方法，研究其收敛阶和均方稳定性；(2) 建立金融系统中带延迟的CIR模型强收敛的数值方法; (3) 针对无界延迟随机微分方程——随机比例延迟微分方程，在单边Lipschitz条件和多项式增长条件下，构建漂移项为隐式的数值方法，证明并获得其收敛阶；(4) 针对随机延迟积分微分方程，在某种耦合条件下构造分裂向后平衡方法，分析其收敛阶，建立其均方稳定时所满足的条件。本项目的研究成果将丰富时滞随机微分方程的算法理论，在金融学、生态学等领域具有重要的应用价值。

本项目研究随机泛函微分方程数值方法的收敛性和稳定性。具体内容包括：（1）针对脉冲随机微分方程，建立了平衡隐式方法的局部截断误差与整体截断误差之间的关系，获得了平衡隐式方法收敛阶的判别准则，并证明其收敛阶为1/2；进一步论证了强数值格式在同一条件下能保持解析解的均方稳定性，并且对弱数值格式也得出了同样的结论，数值实验中模拟隐式平衡方法和显式Euler-Maruyama格式，得出平衡方法稳定时步长范围比Euler-Maruyama格式要大。（2） 对随机延迟积分微分方程，应用隐式平衡方法，建立了数值格式收敛阶的判别准则，并证明其收敛阶为1/2；给出了强平衡方法和弱平衡方法均方稳定性的条件，在数值实验中，对比显式的Euler-Maruyama格式，在同一组参数系数下，精确计算出两种方法的稳定时最大步长，算例显示，隐式的数值方法的稳定性优于显式的数值方法。（3）针对偏微分方程，运用变分法，获得了问题类的存在性和多效性。并且，得到了常号基态解。获得了双向算子的性质。（4）针对偏微分方程系统，利用变分法，得到了双相问题的三个基态解（一个正、一个负和一个变号）。并且得到了双相问题的最大原则。（5）针对连续局部鞅为干扰源的一维倒向随机微分方程， 在生成元满足一种新非Lipschitz条件下，证明了其L2解存在且唯一。（6）在扩散项和漂移项不满足全局Lipschitz条件下，耦合单调条件，针对一系列随机微分方程证明了随机 theta方法的theta强收敛性。.本项目旨在进一步丰富随机泛函微分方程解析解研究与数值分析相关理论基础，为构造实用、高效的数值算法提供指针。