随机哈密尔顿偏微分方程高效数值方法

This project focuses on the systematic construction, analysis and realization of efficient stochastic structure-preserving numerical algorithms, such as stochastic symplectic/multi-symplectic methods and so on, for stochastic Hamiltonian partial differential equations. We aim to present a series of stochastic numerical methods to inherit the mathematical structure and statistical physical properties of the original equations and establish the internal connection among different numerical methods. Particular attention will also be paid to the integration and improvement on the simulation efficiency, accuracy and complexity to enhance the ability of the proposed methods for long-term simulation, tracking and forecast on stochastic problems in the fields of quantum physics, radio statistical physics, molecular dynamics, fluid mechanics, etc. We expect to systemize the construction, strengthen the theoretical analysis and set up a novel theory of stochastic structure-preserving numerical algorithms for stochastic Hamiltonian partial differential equations.

本集成项目聚焦于具有随机辛、随机多辛几何结构随机哈密尔顿偏微分方程高效数值方法的构造、分析与实现，深化随机保结构算法的系统设计及机理研究。拟提出保持原方程数学结构和统计物理特性高效数值方法的系统构造方法，建立不同随机数值方法之间的内在联系。对关于高效保结构数值方法的计算效率、准确性以及复杂性等关键问题的研究成果进行深化集成和系统提升，大幅度提高对源于物理和经济金融等领域的随机问题的长期跟踪、预测和模拟能力，力求构造方法系统化、理论分析完备化，形成特色鲜明的新型随机算法体系。

在本项目研究中，我们发展了随机薛定谔方程、随机麦克斯韦方程等重要的随机哈密尔顿偏微分方程高效数值方法的构造方法、数值分析理论和高效实现技术。对于加性噪声驱动的随机麦克斯韦方程，建立了随机可积性引理，进而给出了无穷维随机哈密尔顿系统典则形式，证明了其相流保持无穷维随机辛几何结构，提出了一系列保持无穷维随机辛几何结构的随机数值方法，解决了随机算法收敛性方面的一个公开问题；对于乘性噪声驱动的随机麦克斯韦方程，给出了保持能量守恒律和随机多辛几何结构的数值方法的构造方法与数值分析结果，实现了对三维随机麦克斯韦方程高数量级轨道的高效、长时间数值模拟；对于守恒型随机非线性薛定谔方程，提出了保持遍历性与随机多辛几何结构的全离散格式，给出了数值算法不变测度的存在唯一性，建立了随机保结构数值算法的收敛性、稳定性、遍历性等分析理论；对于随机非线性薛定谔方程，提出了能提高计算效率的时间并行随机算法，并进行了初步的数值分析研究；对于随机哈密尔顿测试方程，利用大偏差理论揭示了随机辛几何算法优越性的概率机理；对于含不确定性参数的随机偏微分方程，设计了可提高计算效率的Christoffel加权方法，证明了算法的稳定性和最佳收敛性。在项目执行期间，在相关研究领域有重要影响的国际学术期刊上发表研究论文74篇，期刊包括《SIAM系列刊物》（15篇）、《J. Differential Equations》（4篇）、《IMA J. Numer. Anal.》（6篇）、《Math. Comput.》（1篇）、《J. Comput. Phys.》（5篇）、《BIT Numer. Math.》（3篇）、《Potential Anal.》（1篇）、《Inverse Problems》（1篇）等，在Springer出版社著名系列丛书《Lecture Notes in Mathematics》上出版专著一部。