几类随机微分方程的高效数值算法及其在生物学中的应用

Stochastic differential equations with boundary conditions describe the time evolution of stochastic process with boundary conditions in the correct manner. Much phenomenon in nature can be modeled by such equations. The explicit solutions can be hardly obtained. Therefore, the construction of efficient numerical methods for equations of this type is important both in theory and application...The aim of this project is to study effective methods for simulating stochastic differential equations with natural boundary and reflecting boundary conditions and their application in biology. We will focus on the following problems in particular: ..1.Numerical methods with high order for stochastic differential equations with two natural barriers...2.Numerical methods for reflected stochastic differential equations with non- globally Lipschitz continuous coefficients...3.Apply the above numerical methods to the Wright-Fisher model and the ion channel model and then analyze the numerical simulation results in the biological sense. We will also try to model the biochemical reaction system using the reflected stochastic differential equations and compare it with the discrete-state Markov chain model. ..The study of this project will not only enriches the research contents of numerical solution of stochastic differential equations, but can also promote the development of systems biology.

带边界条件的随机微分方程(SDEs)很好地刻画了有边界限制的随机过程随时间演化的规律，自然界中很多现象都可以用这种SDEs建模。由于其解的显式表达式难以获得，研究此类方程的数值算法具有重要的理论意义和应用价值。本项目拟针对具有自然边界和反射边界的SDEs的高效数值算法及其在生物学中的应用进行探讨，具体包括以下三个方面：1.研究具有上下两个自然边界的SDEs的高阶数值算法。2.研究非全局Lipschitz条件下具有反射边界的SDEs的数值算法。3.将所获算法应用于Wright-Fisher模型及离子通道动力学模型上，并分析数值模拟结果的生物学意义；利用具有反射边界的SDEs对生化反应系统建模，并与离散状态的马氏链模型做比较。本项目的研究成果不仅能丰富SDEs数值计算的研究内容，同时也能促进系统生物学理论的发展。

本项目研究了几类随机微分方程（SDEs），随机延迟微分方程（SDDEs），带反射边界的随机微分方程（RSDEs）和随机偏微分方程（SPDEs）的数值算法及其在生物学和经济学中的应用。具体包括以下几个方面：.1.针对一类SDDEs，提出预估校正算法，在一定条件下，该算法具有较大的稳定域。2.针对经济学中常用的一类CIR,CEV模型，提出一种向后欧拉方法，该算法可以保持理论解的非负性。3.对于生物化学反应系统，提出RSDEs模型，并针对该模型提出简单适用的数值求解方法，从而不仅能保证理论解的非负性也能保持数值解的非负性，使得模型具有显著的生物学意义。与传统的离散马氏链模型相比，新模型在保证准确度的条件下，具有更高的效率。4.提出多表型分支模型，解释了肿瘤组织中多表型平衡这一现象。5.针对几类SPDEs，提出指数积分型格式，新算法在时间方向上具有更高的收敛阶。