随机时空分数阶偏微分方程数值算法理论分析与应用

The project is devoted to investigate and build the theory framework of the well-posedness of the mild solution for the time-space fractional partial differential equations. Based on the theory framework, we construct the proper numerical algorithms for the mild solution with theoretical analysis and application. The proposal focus on the following three parts: 1) we study the regularity of the stochastic convolution, local and global existence and uniqueness and the Hölder continuity of the mild solution for some time fractional and space nonlocal partial differential equations.2) The numerical algorithms including the explicit spectral Galerkin method and finite element method are constructed for the time-space fractional partial differential equations. The theoretical analysis focus on the stability, the order of convergence and error estimates. 3)We test the numerical algorithms through the numerical simulation. By the analysis of the numerical result, we improve the numerical algorithms. Finally, we study the application of the finite element software based on the improved numerical algorithms in the simulation of the practical engineering problems in complex situations.

本项目研究建立随机时空分数阶偏微分方程的适度解的适定性理论框架，并以此为基础，构造合适的数值算法并进行理论分析与应用。研究内容包含三个部分：1、研究几类高斯噪声驱动的随机时空分数阶偏微分方程的随机卷积正则性，局部及全局适度解的存在唯一性和Hölder连续性，建立完善的理论框架；2、构造随机时空分数阶偏微分方程数值算法，其中包括显式谱Galerkin方法、有限元等算法，并进行理论分析，探究算法的稳定性、收敛阶以及误差分析； 3、对算法进行数值模拟验证，通过分析数值结果，改进完善算法，并将改进后的算法设计成有限元软件，用于模拟复杂环境下实际工程问题。

本项目研究建立随机时空分数阶偏微分方程的适度解的适定性理论框架，并以此为基础，构造合适的数值算法并进行理论分析与应用。主要成果有：1.建立了几类高斯噪声驱动的时空分数阶随机偏微分方程（非线性Schrödinger 方程、不可压Navier–Stokes、二维大尺度海洋海洋地球物理方程、二维Boussinesq方程组、带阻尼项随机 Klein-Gordon 方程）的适度解理论框架，主要包括适度解的存在唯一性、Hölder连续性，一致渐进性等;2. 构造合适的数值算法并进行理论分析，主要包括基于适度解的显式谱Galerkin数值算法的唯一性及最优误差估计，基于显示显式解Galerkin有限元算法稳定性和收敛阶，数值算法全局动量守恒律和全局动量演化律；3在适度解理论框架和合适的数值算法基础上，开展内嵌数理知识的人工智能算法应用，将分数阶Navier–Stokes方程基于适度解的显式谱Galerkin数值算法用于多智能体对抗环境建模，以及分数阶倒立摆模型建模用于强化学习模型，根据试验结果验证分数阶算法的精度与稳定性；利用基于适度解的显式谱Galerkin随机时空分数阶偏微分方程数值方法建立了对象表示&对象一致性表示模型用于弱目标检测以及时空特征学习模型用于视频的动作识别任务，通过在公开测试集的测试，取得了很好的效果，同时将分数阶光传导方程基于适度解的显式谱Galerkin数值算法用于光传导材料分析中，根据试验结果验证分数阶算法的精度与稳定性。