(带边)黎曼轨道空间与环空间上的随机分析

Analysis on path (loop) space over the Riemannian manifold is one of the most important parts in the study of the infinite dimensional stochastic analysis. Since B. K. Driver proved the quasi-invariance theorem for the Brownian motion on compact Riemannian manifolds without boundary, stochastic analysis on the path space over a complete Riemannian manifold has been well developed. At the same time, for the case of loop space over a Riemannian manifold without boundary, there are some new developments too. But for the case of the analysis on the path (loop) space over a complete Riemannian manifold with boundary and sub-Riemaniann manifold, there are still many open problems. Based on the recent study of stochastic analysis on path(loop) space over Riemannian manifold without boundary,the following problems will be considered in this project: (1)Stochastic analysis on path space over general Riemannian manifold, mainly constructing the quasi-regular Dirichlet form on this space, and hope to establish some functional inequality; (2)Stochastic analysis on path(loop) space over noncompact Riemannian manifold with boundary, mainly studying the formula of integration by parts and functional inequality on this space; (3)Stochastic analysis on path space over a sub-Riemannian manifold, we expect to consider the quasi-regular Dirichlet form and the associated integration by parts formula, and functional inequality; (4)Stochastic analysis on free path (loop) space over Riemannian monifold with (without) boundary, some of the above results will be extended to this space.

黎曼轨道（环）空间上的随机分析一直是无穷维随机分析理论研究中的最重要部分之一。自 B.K.Driver 在无边紧黎曼流形上，对布朗运动证明了拟不变定理之后，在完备黎曼流形上的轨道空间上的随机分析已经得到了很好的发展；同时，在黎曼环空间上的情况，也取得了一定进展。然而，对于带边黎曼轨道（环）空间与次黎曼轨道空间上的情况，依然有很多开问题。 本项目计划在近期关于无边黎曼轨道（环）空间上的随机分析研究基础上，考虑下列问题：（一）一般无边黎曼轨道空间上的随机分析，主要构造该空间上的拟正则的狄氏型，并且希望建立对应的泛函不等式； （二）非紧带边黎曼轨道（环）空间上的随机分析，主要研究该空间上的分部积分公式和泛函不等式； （三）次黎曼轨道空间上的随机分析，主要考虑构造该空间上的拟正则的狄氏型及分部积分公式与泛函不等式； （四）带（无）边自由黎曼环空间上的随机分析，把上面一些结果推广到该空间上。

黎曼轨道（环）空间上的随机分析一直是无穷维随机分析理论研究中的最重要部分之一。 拟不变流，拟正则的狄氏型和泛函不等式是该研究领域的主要研究对象。对于黎曼轨道空间情形，这些研究对象已经得到较好的发展；然而，对黎曼环空间情形来说，还要有许多值得研究问题。在前期工作基础上，本课题主要得到如下几方面的结果：.（一）利用截断的思想，在一般的黎曼轨道空间上得到一类拟正则的狄氏型，并且在一类Ricci曲率无界的黎曼轨道空间上建立了Poincare不等式；.（二）黎曼轨道空间上O-U算子的谱隙和Ricci曲率上下界的联系；.（三）基于最近Naber的最近工作，我们利用王氏Ricci曲率公式和流形上的扩散过程或反射扩散过程刻画Ricci曲率和边界上的第二基本形式的上下界，. 特别我们还得到 Ricci曲率上界的刻画；.（四）使用Anderson-Driver的逼近思想， 我们和合作者还在黎曼轨道（环）空间上建立了随机热核方程；.（五）通过构造一列适当的截断向量场，在一般的黎曼流形上得到局部热核的对数梯度和Hessian估计，并且由此一般黎曼环空间上建立不同类型的泛函不等式。.这些结果具有非常重要理论意义，其中有部分结果已经被发表论文4篇，其他的结果已挂在ArXiv上并且已经投稿。组织一场国际会议，参加了许多国际会议并且多次作学术报告，同时，邀请了许多同本课题研究相关的国际著名专家来校学术交流。