关于具有奇异参数的偏微分方程边值问题与带双边反射的随机偏微分方程的研究

Firstly，we consider the Dirichlet and Neumann boundary value problems of two second order elliptic differential operator with singular coefficients. Under the framework of Dirichlet form theory, we will solve the two boundary problems and give the probabilistic solution, by solving a kind of backward stochastic differential equations (BSDE for abbreviation). Since the BSDEs involve stochastic integrals with respect to forward and backward martingales, the study of this kind BSDE has its own independent interest. Furthermore, we will consider stochastic partial differential equations (SPDE for abbreviation), the coefficients of which depend on the past of the solution, with two reflecting walls. We will study the property of the solution's trajectory including the Holder continuity, regularity and hitting property. At last, by Malliavin calculus, we will estimate the Malliavin derivative and Malliavin matrix of the SPDE's solution, then the absolute continuity of the distribution of the solution and the property of the density will be given.

本项目首先考虑具有奇异参数的二阶椭圆微分算子所联系的非线性Dirichlet 和Neumann边值问题。在狄氏型的框架下，通过求解一类倒向随机微分方程，从而给出这两类边值问题的解的概率表示。其中倒向随机偏微分方程由于含有正向倒向鞅驱动的随机积分，其求解也具有独立的意义。进一步，我们考虑一类带有双边反射的参数依赖于解的过去轨道的随机偏微分方程， 研究这类方程的解的轨道Holder 连续性，正则性，以及在反射边界的hitting性质。最后，我们通过Mallivin分析，估计随机偏微分方程的解的Mallivin导数和Mallivin矩阵，分析在何种条件下，解的分布具有密度，以及密度具有何种性质。

本项目第一个主要研究内容是用概率方法求解非线性偏微分方程边值问题： 利用一类带有局部时的倒向随机微分方程， 给出了带有非线性奇异参数并满足Neumann 边值条件的非线性椭圆和抛物型偏微分方程的解的概率解释，进而得到了此类偏微分方程的解的存在性和唯一性。第二个主要研究内容是带有反射的非线性随机偏微分方程，分别考虑当二阶算子为退化的情况下和满足Neumann边值的情况下，随机偏微分方程的解的存在唯一性。并且，我们利用Malliavin分析得到了一类参数依赖于解的轨道的随机偏微分方程的解关于Lebesgue测度的绝对连续性；证明了一类带跳的取值于一个Hilbert空间的随机偏微分方程的解的大偏差的性质。 . 项目关注的一系列偏微分方程和随机偏微分方程，带有奇异参数或者退化算子，不仅其理论结果在一定程度上扩大了目前偏微分方程的研究范围；在方程求解过程中涉及到扩散算子热核分析，局部时估计，倒向随机微分方程等技术和工具的相应结论，也具有其独立的理论意义和应用价值。