调和分析及其应用

This project studys the singular integrals on the multi-parameter function spaces and also study the partial differential equations of degenerate and mixed types by applying the theory of harmonic analysis...Problem 1. Develop the theory of flag type singular integral operators. These problems are closely related to multi-parameter harmonic analysis...Problem 2. Study the well-posedness of the low regularity solutions to the boundary value problem of the partial differential equations of degenerate and mixed types and their singularity structures. We mainly study the following three problems via the tools of harmonic analysis:.(a) the well-posedness and L^p theory of the solutions to the boundary value problem of the semi-linear degenerate equations in mixed type domains;.(b) global existence or non-existence of the solutions for the Cauchy boundary value problem of the general semi-linear degenerate hyperbolic equations and the singularity construction of the low regularity solutions;.(c) regularity and weighted W^{2,p} estimates of the solutions for the boundary value problems of the degenerate elliptic equations and the L^p theory of the solutions for the mixed type equations;.these problems not only have important mathematical and physical backgrounds, but also have huge sense

本项目研究奇异积分算子在多参数函数空间上的性质并利用相关的调和分析工具和技巧来研究退化型和混合型偏微分方程。.问题1. 发展具多参数结构的 flag型奇异积分算子理论. 该问题是目前多参数调和分析核心理论之一。.问题2.研究退化型和混合型偏微分方程低正则初边值问题解的适定性和奇性结构。我们主要以调和分析为工具研究如下三个问题:. (a) 半线性退化方程在混合区域上的边值问题的适定性以及在混合区域上解的L^p 理论;. (b) 一般半线性退化型双曲方程Cauchy边值问题解的整体存在性或非存在性以及解的低正则性奇性结构;. (c) 退化椭圆型方程边值问题解的正则性及解的加权W^{2,p} 估计和在混合方程解的L^p 理论..这些问题的研究有深刻的数学物理背景，且有相当的难度和理论意义。

我们的主要研究领域为调和分析和偏微方程，其中在多参数函数空间及其对偶空间理论、奇异积分算子理论、偏微分方程初边值问题的适定性和奇性结构等方面取得了系列有意义的成果。特别地，得到了：多参数Hardy空间及其对偶空间的刻画；奇异积分算子在函数空间上的有界性；退化椭圆型方程边值问题解的正则性及解的加权 $ W^{2, p} $ 估计和在混合方程解的 $ L^p $ 理论、半线性退化方程在退化双曲区域最佳低正则解的存在性以及间断初始值问题解的奇性结构；退化双曲方程最小低正则解的局部适定性；空间维数为3 的一般的拟线性波动方程的爆破机制；具有时间damping 的高维可压缩Euler 方程组光滑解的全局存在性与爆破机制。