调和分析及其应用

本项目研究调和分析中下列四方面的问题：1. 小波分析。以Fourier变换为工具，通过相空间的转换研究小波刻画、小波乘子、小波连通性以及收敛性等；研究与Fourier三角函数系密切关联的Gabor小波；通过 C-Z算子理论研究框架算子的有界性,并且研究小波基成为P次Lebesgue空间中无条件基的条件；2. 以调和分析技巧和理论为基础的偏微分方程问题，特别是具有粗糙边界条件的问题；3. 奇异积分算子。重点探索方程研究中出现的奇异积分算子；4.逼近论。研究与调和分析密切相关联的逼近问题，一方面用逼近论方法讨论算子有界性，另一方面用Fourier变换技巧研究小波级数的逼近性质。

本项目的研究主要围绕申请书摘要中所说四方面内容展开。我们的主要成果归结为以下两大方面：1. 小波与逼近。 我们利用Shannon小波和样条小波解决了对于非周期函数用共轭小波求函数跳跃值的问题，并且提出了用卷积算子的导数求函数跳跃值的新方法；给出了高维小波乘子的刻画，建立了乘积空间中的乘子刻画定理；对小波紧框架建立Korovkin型定理，给出了双向多尺度小波生成元的刻画；改进了广义Shannon型小波级数的收敛性。2. 调和分析与偏微分方程。我们建立了Fourier乘子变换收敛性新的判别定理；对于非齐次广义Morrey空间给出了多线性算子的有界性和Caldron-Zygmund算子交换子的有界性，以及次线性算子的有界性；对极大奇异积分算子建立新的BLO估计，对参量Marcinkiwicz积分算子建立了在BMO空间和Camponanto空间的有界性；对框架算子建立了新的有界性定理，改进的Meyer的小浪定理；讨论了奇异Schrodinger方程在Hardy-Sobolev空间中的正则性，还研究了有奇异位势的p-Laplace Schrodinger方程的正则性。