具变指数扩散算子的抛物方程研究

The aim of this project is to study the properties of some nonlinear parabolic equations(systems) with nonstandard growth condition, which arise from modeling real problems such as electro-rhedogical fluids and image processing etc. The group will costruct a suitable function space to each problem, such as Sobolev space with variable exponent etc.、introduce suitable definitions of solutions、 and apply Galerkin's method、parabolic regularization、Rothe's method、Lipschitz truncation etc. to discuss the existence of local or global solutions and strong solutions、uniqueness、regularity or partial regularity as well as extinction、asymptotic behaviour etc. Furthermore, the goup will study the optimal conditions about variable exponent ,which guarantee that the boundedness of Hardy-Littlewood maximal operator、Korn inequality、de Ram theorem density of smooth functions hold. And then these problems will be studied under this conditions.

本项目旨在研究电流变液运动和图像处理等实际问题中出现的两类非线性抛物方程(组)解的性质。通过引入恰当的解空间（变指数的Sobolev 空间）， 给出合适的弱解定义，运用Galerkin 法、抛物正则化法、Rothe法和Lipschitz截断法等讨论局部解、全局解、强解的存在性、唯一性、正则性或部分正则性以及熄灭性、渐近性等。 进一步, 将研究在Hardy-littlewood 极大算子有界性、Korn不等式以及de Rham 定理成立和光滑函数稠密的情形下，变指数所需满足的最优条件。最后，在变指数满足上述最优条件下，研究方程（组）解的性质。

本项目在执行期间，主要研究描述电流变液运动和图像处理等实际问题的几类类非线性抛物方程(组)解的性质. 项目组通过引入恰当的解空间, 如变指数的Sobolev 空间等、 给出合适的弱解定义、运用Galerkin 法、抛物正则化法、Rothe法等技术讨论局部解的存在唯一性. 进而通过新的能量估计和新的几类微分不等式的定性研究，比较完整地给出了解的爆破、熄灭和非熄灭对初值条件和变指数的定性依赖关系。同时, 首次利用能量估计和新的积分不等式给出一类双曲方程爆破解的爆破时间上下界估计，最后还利用变分法、Rothe 方法、抛物正则化以及弱收敛技巧对一类带权的拟线性抛物问题解的存在性给出证明，另外，通过构造合适的带权的圆柱体，获得新的振荡引理，从而克服了模与范数之间的空隙和扩散算子的各项异性的困难，最后利用De Giorgi迭代技术证明了解的赫尔德连续性.