具变指数扩散模型及相关问题研究

The aim of this project is to study some nonlinear diffusion models with important bakground in applications, including the diffusion equations with variable exponents and their stable forms, the equations with critical Sobolev exponents or Hardy-Sobolev exponents etc. and some reaction-diffusion equations or systems with non-constant coefficients (the so-called weight functions) to the reaction terms, with nonlocal terms and/or localized terms. The group will first study and improve the real models to make the models better in describing the real problems. Then, construct or introduce a suitable function space (Orlicz space etc.) to each model, construct a sequence of approximation solutions to the problem with the use of some known results to the corresponding elliptic problems and hence study the existence of solutions to the problem by using modern technique in PDE and harmonic analysis. Furthermore, the group will study the problems with critical exponents and the other cases with the use of modern technique in analysis, integral operator theories, modified compact-concentration method and some known results to the case of constant exponents. The problems of the uniqueness, blow-up properites, positivity, regularity or partial regularity, extinction, asymptotic behavior, the initial trace and the regularity of the interface of the solutions and the dependency of the solutions to the exponents etc. will also be studied.

本项目旨在研究几类具重要应用背景的非线性数学模型. 具体包括变指数的扩散方程及其稳态形式、具临界Sobolev指标或Hardy-Sobolev指标方程等，研究具权函数的反应扩散方程及具非局部项或局部化项的偏微分方程定解问题. 项目将从模型研究出发，针对问题改进模型使之更适合于实际背景问题; 针对具体模型，引入适当的函数空间（如Orlicz空间等）， 利用已有的关于椭圆算子的丰富成果，构造近似解序列，然后利用现代偏微分方程的研究方法和调和分析方法进行细致的估算，从而获得解的存在性及解的一些性质. 进一步利用各种精细的分析技巧、积分算子理论以及已有的关于常指数方程的结果和修改的集中紧致方法等来研究具临界指标的问题以及解对指数的依赖关系等问题，讨论解的唯一性、解在有限时刻的爆破、解的正性、正则性或部分正则性、解的熄灭、解的渐近性、解的初始迹及解的分界面的正则性等.

本项目从实际模型出发，研究具重要应用背景的非线性数学模型，具体包括变指数的反应扩散方程、具临界Sobolev指标或Hardy项的椭圆型方程、具非局部化源或非局部边界条件的几类偏微分方程（组 ）定解问题等。四年中，项目组利用现代偏微分方程的研究方法和调和分析方法，在适当的函数空间（如Orlicz空间等）框架下，经细致的分析，研究了所论问题解的存在性、唯一性、解在有限时刻的爆破性、解的正性、解的熄灭、解的渐近性及解的正则性等性质。获得一批既有理论意义，也有一定应用前景的结果。在国内外学术刊物上正式发表研究论文近七十篇，其中标记基金资助文章近五十篇，在SCI检索杂志上发表文章近四十篇。多篇文章已经开始被国内外同行引用。在项目组教师指导下，四年来毕业博士10人，硕士25人。项目组成员及所指导的学生多人受国家留学基金资助，到美国著名高校合作研究或联合培养。与此同时，项目组注重与国内外同行进行学术交流，多人次参加国内国际学术会议并作学术报告。在基金委的支持下，本项目组在科学研究、学术交流和人才培养等方面均取得了较好的成绩。