具强交叉扩散方程组

本项目拟研究两类重要的具强交叉扩散项的偏微分方程组。一类是在生物学中非常著名的抛物与抛物型的Keller-Segel方程组，它主要刻画细胞的群体运动规律，这里我们拟研究此类问题解的blow-up 性态以及具有小交叉扩散系数的K-S方程组极限问题，由于难度大和意义深刻，这类极限的研究近年来越来越受到广泛的关注。 另一类是在生态学和经济学中占有重要位置人口模型，它可以描述生态学中生物的捕食与被捕食关系或竞争关系，病毒传播，细胞分裂以及资源的可再生情况。我们拟讨论人口模型中的具有强交叉扩散项的抛物方程组解的长时间行为，关于解的存在性近几年已取得了很大的突破，目前关于存在状态下解的长时间行为的研究是新亮点，我们拟应用相对熵理论来研究该问题，这方面研究结果对病毒控制，资源的重整利用等提供了有利的理论保障。

具强交叉扩散 Keller-Segel 方程组在生物数学中有着重要的位置，主要刻画细胞的群体运动规律。解的存在性、不存在性以及长时间行为是国内外学者关注的重点。本项目主要考虑了一个高维退化扩散的 Keller-Segel (KS)方程组，应用能量方法及先验估计理论证明了解的整体存在与 blow-up 性态。此外，我们还分别考虑了具有一般扩散指标和一般势的 KS 模型，给出了精确的初始临界值。. 另一方面，我们还考虑了具有两种源同时作用的物方程组解的渐近行为。针对不同的问题，具体分析了混合耦合源作用下解的渐近性态：对初边值问题我们证明了解若blow-up 必在整个空间区域，并具有一致的 blow-up 速率；对 Cauchy 问题，我们发现解的 Fujita 指标是 $+\infty$。这两种现象揭示一个共同的问题，此类模型解的性质由局部化源决定。