具低阶项的双非线性抛物方程(组)的研究

This subject is devoted to the Cauchy problem for doubly nonlinear parabolic equations (systems) with lower order terms. The main contents include: 1) We study the existence of solutions and initial trace problem of the Cauchy problem for doubly nonlinear parabolic equation with lower order terms containing variable dependent source or absorption term; 2) An important problem is that whether the solutions of the Cauchy problem for doubly nonlinear parabolic equations with nonlinear gradient term exist; 3) We consider the existence and nonexistence of solutions of the Cauchy problem for nonlinear coupling parabolic systems with lower order terms. The main difficulties in studying these problems are as follows: due to the doubly nonlinear of the principal part, the equation (system) has not classical solutions; the existence of lower order terms and the unboundedness of domain maybe have an essential effect on the existence of solutions. On the basis of predecessors' work, combining the results we have obtained, we hope that we can overcome these difficulties by a priori estimates and the methods in real analysis, and give a further discussion to the Cauchy problem for doubly nonlinear parabolic equations (systems).

本项目主要研究具低阶项的双非线性抛物方程(组)的Cauchy问题，其主要内容包括：1）当低阶项中含有变量依赖源项或吸收项时，研究双非线性抛物方程Cauchy问题解的存在性及解的初始迹等问题；2）当低阶项中含有非线性梯度项时，一个重要的问题是：双非线性抛物方程的Cauchy问题解是否存在？3）研究具低阶项的耦合非线性抛物方程组Cauchy问题解的存在性与非存在性。研究这类问题会遇到的困难有：方程(组)主部的双非线性使得方程不具有经典解、低阶项的存在和区域的无界可能对解的存在性产生本质性的影响等。希望在前人工作的基础上，结合我们已有的研究成果，利用先验估计和实分析的方法克服这些困难，对双非线性抛物方程(组)的Cauchy问题作进一步地探讨。

非线性抛物方程和流体力学方程来源于自然界广泛存在的扩散现象、渗流理论、生物群体动力系统、大尺度大气和海洋流动以及等离子体物理等领域，是非线性偏微分方程领域里研究的热点和难点问题。本项目主要对以下几个方面进行了研究：1）研究带有时间依赖源或空间依赖源的退化或奇异性抛物方程的Cauchy问题，得到了测度初值解的最优存在性、解的整体存在与非存在性及解的初始迹等；2）考虑具梯度项的双非线性抛物方程的Cauchy问题，克服了方程主部的双非线性与强非线性梯度项相互作用带来的困难，证明了解的局部存在、整体存在与非存在性等；3）考虑具非局部梯度源项的多孔介质方程的Cauchy问题，克服了非局部源项带来的困难，得到了解的局部最优存在性、解的整体存在与非存在性等； 4）讨论了带有非线性边界条件和权函数的拟线性方程组的正解问题，利用变分方法并借助于对 Nehari 流形的分析，得到了方程组正解的存在性和多解性；5）研究几类具偏耗散的二维Boussinesq方程的Cauchy问题，得到了解的整体正则性，向无粘性公开问题的最终解决迈近了一步。