二维流体数值模拟中双曲守恒型方程(组)的熵耗散格式研究

Conservation laws are widely applied in fluid mechanics, such as the aeronautics, astronautics and atmospheric sciences. The numerical dissipation in the numerical simulation of conservation laws is always a big issue. The problem is that on one hand we need it for the stability of the scheme and on the other hand we wish to get rid of it for obtaining good quality of the solution. To achieve the above mentioned effects, one effective way is to use the entropy to stablize the compuation and overcome the numerical dissipation. In this research we shall present a new type of finite volume scheme--entropy dissipating scheme for tackling this problem which satisfying two conservation laws. Both the numerical solution and numerical entropy are computed in a finite-volume fashion while the computation of the latter involves a so called entropy dissipation term, which simulates the variation of the entropy. In doing so, the numerical dissipation is introduced in the scheme to stablize the computation. The numerical errors of the scheme produced in different time steps are accumulated in a nonlinear fashion, in which they cancel each other so the schemes show a super-convergence property.Their numerical solutions are far better than that of traditional difference schemes at both accuracy and long-time behavior.We are going to apply this method to the Burger's equation and Euler system to improve the resolution of numerical solution in the linearly degenerated second characteristic field. At last we are going to establish a robust numerical scheme. The project intends to solve the key scientific issues: the numerical dissipation in the numerical simulation of conservation laws.

二维守恒型方程（组）在航空、航天及大气科学等流体力学领域应用极其广泛，守恒型方程（组）数值模拟中解的耗散是非常重要的一个问题，一方面期望数值格式具有足够的耗散以保证格式的稳定性，另一方面又希望格式的耗散尽量小使得数值解有好的结构。为达到以上效果，一个有效的途径是用重要的物理量熵来稳定计算，克服耗散。 本项目拟研究守恒型方程（组）数值模拟中满足两个守恒律的熵耗散格式，不同于传统有限体积格式，它同时保证两个守恒律成立，在每一个网格上既计算数值解又计算数值熵，通过熵来控制格式的稳定性，使格式在计算过程中各步误差相互抵消，使得格式的长时间计算效果远胜于传统格式，且几乎没有相位差的产生。将此格式应用于二维非线性Burger's方程和Euler方程组，则有望克服数值计算中的耗散，最终将格式建成一种强健的数值格式。 本项目拟解决的关键科学问题：如何有效克服守恒型方程数值模拟中解的耗散。

二维守恒型方程、方程组在流体力学领域应用极其广泛，解的耗散是数值模拟中非常重要的问题。本项目设计了熵耗散格式，不同于传统数值格式，此格式在同一网格上即计算数值解，又计算数值熵，通过熵引入粘性，稳定计算。本项目将此格式推广到了二维单个守恒律方程：二维线性传输方程和二维非线性的Burgers方程，设计了相应的熵耗散因子，此熵耗散因子分方向设计，总的熵耗散量为两个方向熵耗散的总和。此格式在数值模拟时，光滑区域，熵耗散量很小，在间断处，熵耗散因子为格式引入恰当的粘性，保证计算的稳定性。分析了二维时，格式的精度为二阶精度。进行了数值模拟，对于光滑解，模拟效果非常好，解如果有间断，间断处有一定的磨损。对于非线性Burgers方程，无论是激波还是稀疏波计算结果显示了格式的有效性。将格式推广到二维的Euler方程组时，遇到了一些困难，主要是重构过程中线性斜率系数的计算要比一维复杂很多，因为增加了一个方向，计算过程中会出现二重积分，用Simpson公式近似计算时，斜率参数计算非常复杂，给出了二维Euler方程组熵耗散因子的构造方式，对于二维的Euler方程组，有三个守恒量，两个方向，分别按方向设计，每个方向再分三个特征场设计，相加得到熵耗散函数。本项目还对一维热传导方程的若干数值格式进行了分析和数值模拟。研究了求解RT/DAE分裂法的框架，并分析了收敛性，通过数值算例对比了源迭代方法与其他方法，显示了源迭代方法的优越性。给出了两种求解大规模带约束的非线性方程组问题的谱梯度法，证明了方法的全局收敛性，数值实验验证了方法的有效性；给出了求解结构性变分不等式的带参数的Prsm算法，证明了全局收敛性，通过运输问题验证了有效性；给出了一种求解大规模带约束的非线性方程组问题的共轭梯度法，证明了全局收敛性，通过数值实验验证了其有效性。