非经典双曲型守恒律方程数值模拟与分析

In this project, we will develop the high order discontinuous Galerkin methods for the important non-classical hyperbolic conservation law equations in solid and fluids mechanics. We will build up the mathematical theory of the numerical methods and develop the software for the numerical simulations, which will provide the useful tool for solving these type equations in application area. We will mainly focus on the nonlinear hyperbolic-elliptic phase transition equations, nonlinear elastodynamics equations and other related physical models. We will use the new numerical methods to simulate the physical models for complex material, phase transition in solid and fluids mechanics, magneto hydrodynamics, thin liquid films, semi-conductors. The project will be useful for development of the non-classical hyperbolic conservation law equations. There are important theoretical and practical significance. It will have a good impact and role on many branches of mathematics and interdisciplinary development.

本项目以固体力学和流体力学等领域中出现的重要非经典守恒律方程为研究目标，研究该类方程的高精度间断有限元方法，建立相关理论和严格的数学基础，研制相关的数值模拟软件，为该类方程广泛应用于实际问题提供强有力的工具。研究的方程主要包括非线性双曲-椭圆耦合系统的相变问题、非线性弹性动力学方程及其相关物理应用问题等，并将算法应用到模拟诸多实际应用领域，如复合材料的设计、固体和液体的相变问题、磁力体问题、液体薄膜、半导体问题等。这不仅对非经典守恒律方程的发展具有推动作用，而且由于非经典守恒律方程在数学物理中的典型代表性，将对许多数学分支及交叉学科的发展都有重要影响和促进作用，具有十分重要的理论和现实意义。

本项目以固体力学和流体力学等领域中出现的重要非经典守恒律方程为研究对象，针对高精度间断有限元算法进行深入系统的研究。研究的主要内容包括固体和液体中相变问题、相场模型方程、含波动算子非线性薛定谔方程、可压缩超弹性杆波动方程等问题的高精度的间断有限元方法。针对完全非线性的高阶导数方程设计了高精度半隐时间离散方法，解决了其显式时间离散导致的步长较小的瓶颈问题，同时避免形成完全非线性的方程组，使得算法能够易于编程实现和求解。理论分析方面给出了线性对流扩散方程和非线性Allen-Cahn方程全离散格式的稳定性和误差估计。本项目发表标注论文25篇，其中SCI收录23篇，主要代表作发表在SIAM Journal on Scientific Computing, Mathematics of Computation, Journal of Scientific Computing, Journal of Computational Physics, Communications in Computational Physics等专业顶级杂志。培养博士生4名，其中一人获中国科学院优秀博士学位论文奖，一人获中国科学院院长奖。项目负责人获2017年国家自然科学基金委优秀青年科学基金项目资助。