双曲守恒律方程组的二维黎曼问题

In this project, we study two-dimensional Riemann problems for hyperbolic systems of conservation laws. In a kind of two-dimensional linearly degenerate systems of nonlinear conservation laws, the general generalized Rankine-Hugoniot relation, the entropy condition and the explicit expression for two-dimensional delta shock wave will be presented. Meanwhile, we investigate both the conditions and the mathematical mechanisms for the appearance of two-dimensional delta shock waves with Dirac delta function in multiple state variables. We will further establish the theories of the two-dimensional delta shock wave. Besides, in a kind of two-dimensional systems of nonlinear conservation laws which mode polymer flooding in an oil reservoir, we will investigate both the conditions and the mathematical mechanisms for the appearance of Mach-reflection-like configuration. Furthermore, in the two-dimensional compressible Euler equations for a Chaplygin gas, we will give the explicit expression for the two-dimensional delta shock wave with Dirac delta function in multiple state variables. We will also explore both the conditions and the mathematical mechanisms for the appearance of the Mach-reflection-like configurations involving this type of two-dimensional delta shock wave. The two-dimensional Riemann problem for these hyperbolic systems of conservation laws will be solved finally. The studies of this project are very important to establish the mathematical theories of multi-dimensional systems of nonlinear conservation laws.

本项目研究双曲守恒律方程组的二维黎曼问题。对一类线性退化的二维非线性守恒律方程组，建立二维狄拉克激波的显示表达式，并提出其更一般的广义Rankine-Hugoniot条件和熵条件；进一步地探索在多个状态变量上都具有狄拉克函数的二维狄拉克激波出现的条件和数学机理，并发展高维狄拉克激波的数学理论。在石油井中描述聚合物驱油过程的一类二维非线性守恒律方程组中，分析类马赫反射结构出现的条件和数学机理。在Chaplygin气体动力学二维Euler方程组中，建立在多个状态变量上都具有狄拉克函数的二维狄拉克激波的显示表达式，进一步地探索涉及此类二维狄拉克激波的类马赫反射结构出现的条件和数学机理。最后，解决这些守恒律方程组的二维黎曼问题。该项目的研究有助于建立高维非线性守恒律方程组的数学理论。

非线性守恒律方程（组）来源于流体力学、空气动力学和多相流等学科的研究。积极开展高维非线性守律方程(组)黎曼问题的研究，对建立高维非线性守恒律方程(组)的数学理论具有重要意义。本项目研究了双曲守恒律方程组的二维黎曼问题，取得了如下重要成果。第一，在二维气体动力学方程组的黎曼问题中，建立了在多个状态变量上都具有狄拉克函数的二维狄拉克激波出现的条件和数学机理，进而获得了涉及此类二维狄拉克激波的类马赫反射结构出现的条件和数学机理。我们解决了该二维黎曼问题，并获得了包含该类马赫反射结构的所有黎曼解。第二，在石油井中描述聚合物驱油过程的一类二维非线性守恒律方程组中，研究了初值是以一条曲线作为间断线且在分隔开的区域内取不同常值的黎曼问题，并获得了该黎曼问题的非自相似整体解。第三，在Chaplygin气体动力学方程组的黎曼问题中，建立了在多个状态变量上都具有狄拉克函数的狄拉克激波的显示表达式，并得到了该黎曼问题的所有显示解。进一步地，在广义Chaplygin 气体动力学方程组的黎曼问题中，给出了在多个状态变量上都出现狄拉克函数的狄拉克激波的显示表达式，并获得了该黎曼问题的所有显示解。第四，在具有耗散项的一些非线性守恒律方程组的黎曼问题中，给出了在多个状态变量上都具有狄拉克函数的狄拉克激波的显示表达式。我们解决了该黎曼问题，得到了所有的非自相似黎曼解，并展示了耗散项对解的影响。这些成果在高维非线性守律方程组的数学理论研究方面具有重要的理论意义。