四维流形上的有限群作用与奇异光滑结构

The homological rigidity of finit group actions and existence of exotic smooth structure are two important aspects in the study of 4-dim manifolds. After the introduction of the Seiberg-Witten theory, we make remarkable progress in these two aspects. But there are still somes questions need to be studied deeply. For this reason, we will study the following 3 questions in our project. ① By using the Seiberg-Witten theory, G-Spin theorem and Adams operator and so on, we look for the restractions for the existence of homologically trivial diffeomophisms of odd prime order on smooth 4-manifolds. ② We study the restrictions for homologically trivial group actions on symplectic 4-dim manifolds. Furthermore, we give the realization results of the fixed point set for homologically trivial but nontrivial group actions of odd prime order. ③ We study the existence of exotic smooth structure on symplectic 4-dim manifolds. Concretely, under the actions of symplectic K3 group (such as alternative group A_5 and symmetric group S_5 and so on), and combining the Lefschetz fixed point theorem and G-signature theorem and so on, we give an estimate about the existence of exotic smooth structure.

在四维流形的研究中,有限群作用的同调刚性以及奇异光滑结构的存在性是两个重要内容。在引进了Seiberg-Witten理论以后，这两个方面都取得了突破性的进展，但仍有一些问题值得深入研究。有鉴于此,本项目将研究如下三方面内容。①运用Seiberg-Witten理论，G-Spin定理 以及Adams算子等工具，寻找光滑四维流形上同调平凡的奇素数阶周期微分同胚作用存在的限制条件，由此研究一些光滑四维流形上同调平凡群作用的存在性。②研究辛四维流形上同调平凡群作用存在的限制条件，并对同调平凡的非平凡奇素数阶循环群作用给出其不动点集的实现形式。③研究辛四维流形上奇异光滑结构的存在性。具体地，通过一些辛K3群(如交错群A_5 ，对称群S_5等)的作用，并结合Lefschetz 不动点定理，G-signature 定理等工具，对辛同伦K3群上奇异光滑结构的存在性进行估计。

四维流形上的有限群作用一直被广泛研究。在引进了Seiberg-Witten理论，并在G-Spin定理、Lefschetz 不动点定理、G-signature 定理等的基础上，其理论不断完善。 本项目主要针对四维流形上有限群作用的同调刚性以及奇异光滑结构的存在性进行研究。首先，在光滑四维流形方面，项目对同伦椭圆曲面E(4)进行研究。在某些条件下，证明了该流形上同调平凡的奇素数阶周期微分同胚作用是不存在的，并且给出了该结论的应用。项目还对同伦S^2 \time S^2 上的交错群A_5进行研究，并得到了Dirac算子的指标作为A_5表示的表达式。其次，在辛流形方面进行了两方面的研究：①研究了一类辛四维流形----同伦椭圆曲面E(n)上同调平凡的辛循环群作用存在的限制条件，并对同调平凡的非平凡奇素数阶循环群作用给出了不动点集的实现形式；②研究了辛四维流形K3曲面上的对称群S_5作用。研究给出了辛K3曲面上对称群S_5作用的一个弱分类，并讨论了在该作用下，流形上奇异光滑结构的存在性。作为后续研究，项目还研究了辛四维流形S^2\time S^2上反辛对合作用的分类问题，并得到初步成果。上述研究丰富和完善了四维流形上有限群作用的理论，更好地揭示了四维流形的几何和拓扑性质。