流体动力学方程的调和分析方法

本项目主要研究现代物理学中所出现的一些重要的流体动力学方程，如：Burgers方程、CCF模型、Euler方程、MHD（磁流体）方程和旋转浅水方程等，这些方程具有鲜明的物理背景。我们拟利用调和分析的技巧和思想，针对以上方程，围绕下面几个方面展开研究：（1）研究超临界Burgers方程对一类特殊初值的熵解的正则性问题。（2）利用依赖于时间的连续模方法来研究超临界CCF模型的整体正则性/有限时间爆破和最终正则性问题。（3）利用Fourier局部化方法和函数空间理论研究二维Euler方程解的梯度的最优增长估计。（4）利用紧致性方法和Littlewood-Paley理论研究二维带有零磁扩散的不可压MHD方程的整体适定性问题。（5）利用频段上的时空估计和Besov空间理论来研究旋转浅水方程在Lp框架下的整体存在性。我们希望通过本项目的实施，对这些方程的性质有全面的了解，提高我们的数学研究水平。

本项目主要利用调和分析方法等现代的分析技术和工具研究具有鲜明物理背景的一些重要的流体动力学方程, 研究了解的存在性、唯一性、稳定性和爆破现象. 本项目基本达到预期目标, 还有一些遗留问题尚未得到彻底解决. 具体研究成果阐述如下: (1) 利用Fourier局部化方法和Littlewood–Paley理论等调和分析的方法证明了三维Navier–Stokes方程在临界Fourier–Herz空间的整体适定性. (2) 利用De Giorgi迭代方法，我们对2，3，4维的非稳态Navier-Stokes方程和2，3，4，5，6维的稳态Navier-Stokes方程的适当弱解的部分正则性的一些已知研究结果给出了一个统一的证明. (3) 考虑了具有分数次扩散的二维无粘Benard系统的Cauchy问题, 利用调和分析的现代方法证明了该系统对于Yudovich型初值具有唯一的整体解. (4) 研究具有垂直耗散的二维非线性Boussinesq方程的整体适定性. 我们在没有小性假设下证明了古典解的存在性和唯一性, 此外我们还讨论了对于粗糙初值的整体适定性结果. (5) 研究了超临界的聚合方程. 我们在Besov空间证明了关于小初值的整体适定性和对于任意初值的局部适定性. 本项目共发表多篇SCI论文, 其中一些研究成果改进了已有的结果, 具有重要的理论价值和科学意义. 此外, 我们还研究了其他一些与本项目相关的流体动力学模型, 并将在后续的研究工作中继续关注这些问题和一些尚未解决的重要研究问题.