不可压缩流体动力学方程的调和分析方法

This project is devoted to investigate the global well-posedness and the asymptotic stability of solution to several models of the incompressible fluid dynamics for the rough initial data with the help of some tools such as harmonic analysis、micro-local analysis including wavelet theory、Littlewood-Paley theory、Bony para-product decomposition and so on. Specifically:. (1) We study the global existence and uniqueness of solution for the bi-dimensional Euler equations in the large class ( for example: Spanne space) involving unbounded and non-decaying vorticity; . (2) We study the global well-posedness of solution for the bi-dimensional incompressible Euler-Boussinesq equations for the Yudovich initial data; . (3) We study the global regularity of solution in the log enery space close to the energy space for the bi-dimensional Euler equations. Based on this, we further study the long time behavior and the asymptotic stability of solution;. (4) We construct the local-in-time solution of the incompressible Navier-Stokes-Maxwell equations in the critical Morrey-Campanato space.for the large initial data as well as the global-in-time solution for the small initial data.

本项目拟利用调和分析、微局部分析特别是小波理论、Littlewood-Paley 理论以及 Bony 的仿微分技术等工具研究几类重要不可压缩流体方程具有粗糙初值解的整体适定性和渐近稳定性。 具体内容是：. （1）在容许了有奇性和无衰减涡度的类 (Spanne 空间) 里建立二维不可压缩 Euler 方程大解的整体存在性和唯一性；. （2）二维不可压缩 Euler-Boussinesq 方程关于 Yudovich 初值解的整体适定性；. （3）二维密度依赖的非齐次 Navier-Stokes 方程在 log 型能量空间中大解的整体适定性。我们还研究解的大时间行为和渐近稳定性；. （4）研究不可压缩 Navier-Stokes-Maxwell 系统在临界 Morrey-Campanato 型空间中大解的局部适定性和小解的整体适定性。

本项目主要研究现代物理学中所出现的一些重要的流体动力学方程，如：不可压缩Navier-Stokes方程、不可压缩Euler方程、SQG方程和不可压缩MHD（磁流体）方程等，这些非线性偏微分方程具有鲜明的物理背景。我们拟利用调和分析的技巧和方程的结构，针对以上几类方程，围绕以下几个方面展开相关研究：（1）超临界耗散不可压缩Navier-Stokes方程在次临界空间中解的存在性和唯一性；（2）利用方程的轴对称无旋结构和自身的耦合结构来研究带部分耗散三维不可压缩MHD方程轴对称无旋大解的整体存在性和唯一性；（3）利用极大光滑效应，我们研究了三维不可压缩MHD方程在Fourier-Herz框架下温和解的整体适定性；（4）利用Littlewood-Paley理论和非线性的相互作用，我们研究了超临界三维耗散不可压缩Navier-Stokes方程解在临界Fourier-Herz框架下中的不适定性；（5）利用扰动理论，我们研究了不可压缩三维MHD方程一类大解的整体性；（6）利用经典的调和技巧和输运方程的性质，我们研究了二维不可压缩Euler方程一类Yudovich解的整体存在性和唯一性。（7）通过奇异积分的性质，我们研究了广义SQG解的奇性问题。 通过本项目的实施，我们对这些方程的结构和性质有全面的了解和更深层次的认识，提高了我们的数学研究水平。