调和分析方法在分数阶旋转流体方程研究中的应用

Navier-Stokes (NS) equations are the fundamental equations of fluid mechanics. It is a long time for the research about well-posedness of solutions and there were lots of useful results. In recent years because of its importance to NS equations in geophysical applications, especially affecting by the research for large scale flow of air and ocean in the rotational framework, Navier-Stokes-Coriolis (NSC) equations with a constant rotation speed has been widely concerned. This project is mainly devoted to study some topics of the fractional power dissipative fluid equations in the rotational framework. Specially, this project will study the well-posedness of solution in all kinds of function space, the regularity and asymptotic behavior by using the harmonic analysis techniques. In the process of investigating project, we will establish some basic estimations of the heat semigroups and its higher order gradient operators family of the fractional Coriolis operators in some function spaces. This estimations are not only the keys in the study of this project, but also will be applied in investigating multipliers and extension of semigroup related to differential operatoes. Furthermore, the study of this project is natural development of the fluid mechanics equations as well as a promotion in investigating singular integral, differential operators and function spaces.

Navier-Stokes (NS)方程是流体力学中的基本方程，其适定性已有很长的研究历史并取得了丰富的研究成果。近年来因NS方程在地球物理方面应用的重要性，特别是受地球自转影响的大尺度气流与海洋流研究的进一步推进和发展，带有定常旋转速度Navier–Stokes-Coriolis(NSC)方程得到了广泛的关注。本项目主要探讨旋转效应下的分数阶耗散型流体方程的若干主题。特别地，我们将应用调和分析方法重点研究其解在各类函数空间的适定性、正则性、渐近行为。在项目的研究中，我们将建立分数阶Coriolis算子的热半群及其高阶梯度算子族在相关函数空间中的一些基本估计。这些估计不仅在本项目研究中起关键作用，同时在乘子理论、半群延拓等微分算子自身问题的研究中得到应用。本项目的研究不仅是流体动力学方程理论研究的自然延伸和发展，同时也将推动奇异积分、微分算子及函数空间理论的研究。

本项目研究了分数阶不可压缩 Navier-Stokes-Coriolis 方程初值问题的适定性. 即在不可压缩 Navier-Stokes-Coriolis 方程中用更广义的分数阶微分算子替代经典的 Laplacian 微分算子. 证明了对一定范围内的粘性指数，初值在 Sobolev 函数空间中温和解的时间局部存在性及唯一性，并根据旋转速度及初值的空间范数给出了时间存在区间下界的精确刻画. 得到了旋转速度充分大时整体解的存在性；同时，应用 Fourier分析技巧，证明了在 Sobolev-Gevery 类函数空间中分数阶不可压缩 Navier-Stokes 方程整体解的存在性，并研究了整体解在 Sobolev-Gevery 类函数空间中的衰减形态以及整体解关于初值的连续依赖性；对于一类高振荡初值，证明了分数阶不可压缩 Navier-Stokes-Coriolis 方程在混合 Besov 函数空间中初值问题解的整体适定性; 证明了在只有水平耗散条件下，3维分数阶不可压缩各向异性Navier-Stokes 方程初值问题在Besov函数空间中解的弱强唯一性. 除此之外，项目组成员还研究了一定条件下双线性Theta 型 Calderon-Zygmund 算子从 Lebesgue 空间到 Lebesgue 乘积空间以及在 Morre y函数空间中的有界性；得到了Littlewood-Paley 算子、Calderon-Zygmund 算子、分数次积分的交换子在相关变指标函数空间中的有界性结论.利用球调和函数证明了一类变量核奇异积分交换子是 Morrey 空间上的紧算子.利用函数分解方法和 A[p] 权不等式工具，得到了多线性分数次积分算子和多线性分数次极大算子在加权Morrey 函数空间上的有界性和弱估计; 得到了粗糙核分数次极大算子在加权Lambda-中心Morrey 空间上的有界性，证明了粗糙核分数次极大算子与加权Lambda-中心有界平均振荡函数生成的交换子的有界性.