在流体动力学方程和Keller-Segel方程中的调和分析方法

This project is devoted to study the global well-posedness of several models of fluid dynamics and Keller-Segel equations for the well-posedness, the existence of large self-similar solution, regularity and other related properties, by using harmonic analysis such as wavelet theory, Littlewood-Paley theory, Bony para-product decomposition, De-Giorgi iterative and so on. ..(1) The existence of minimal blow-up initial data of a three-dimensional incompressible Navier-Stokes equation in a critical Fourier-Herz space;.(2) The nonlocal effect in physical space of weak solutions and the existence of the large forward self-similar solution of the three dimensional fractional Navier-Stokes equations;.(3) The global well-posedness of the solution to the two-dimensional fractional incompressible Chemotaxis-Navier-Stokes equations;.(4) The global existence of self-similar solutions for high-dimensional classical elliptic parabolic Keller-Segel systems.

本项目主要是利用经典的泛函分析方法和 Fourier 微局部化等调和分析方法以及经典的 De-Giorgi 迭代等现代的数学工具和方法来研究流体动力学方程和 Keller-Segel方程（组）解的适定性、自相似解的存在性、正则性和其它相关性质。具体内容是：..（1）三维不可压缩Navier-Stokes方程在临界Fourier-Herz空间中的极小爆破初值的存在性;.（2）三维分数阶Navier-Stokes方程弱解在物理空间的非局部化效应和自相似大解的整体存在性;.（3）二维分数阶耗散不可压缩 Chemotaxis-Navier-Stokes 方程大解的整体适定性；.（4）高维经典椭圆抛物Keller-Segel系统自相似大解的整体存在性。

本项目主要研究几类重要的流体动力学和生物学模型, 如: 不可压缩Navier-Stokes方程和Keller-Segel方程等, 这些非线性偏微分方程具有鲜明的物理和生物学背景。利用微局部分析的技巧和演化方程的结构特征, 针对以上几类方程的前言问题, 我们围绕以下几个方面展开了相关研究:.一、利用椭圆方程解的正则性和引入新的加权框架，证明了(1) 三维次临界耗散不可压缩Navier-Stokes方程自相似大解的整体存在性、正则性和解的大时间行为；(2)三维临界耗散不可压缩Navier-Stokes方程自相似大解的整体存在性、正则性和Sharp性衰减估计。这方面的成果回答了Tsai等流体专家在其文章中提出的公开问题。.二、通过引入局部化空间和利用演化方程的非局部效应，我们建立了带Logistic源项的Keller-Segel方程柯西问题解的整体适定性。更重要的是我们给出了柯西问题整体解关于时间的一致上界。.三、利用方程的特殊结构和新的不变量，我们建立Logistic项的Keller-Segel方程一些特殊解（如三维轴对称无旋解、二维分数阶耗散平面解）的整体适定性，并分析了耗散效应和趋化效应的在解演化过程中的内在机制。