Monge-Ampere型方程及其几何应用

微分几何中许多重要问题往往是通过对Monge-Ampere型方程解的存在性和唯一性的研究而得以解决，这涉及解的先验估计和正则性等。本项目主要考虑Minkowski空间中预定Weingarten曲率超曲面的存在性和唯一性问题，这归结为研究一类完全非线性椭圆方程的可解性，边值问题的兼容性等。这个问题一直公开而不能解决的关键在于缺少二阶导数的先验估计，我们将研究初等对称多项式的凹性来克服它。我们也研究一些具有特殊几何性质（比如凸）的超曲面的存在性。 通过结合Minkowski空间中特殊超曲面的性质来研究预定曲率函数的合理性， 从而改善预定曲率函数的条件来获得超曲面的存在性。 关于唯一性问题我们将借助一些几何思想对相应的非紧超曲面进行分类； 最后我们用偏微分方程的技巧来探索具体Monge-Ampere方程的均匀化，其动机主要来源于Caffarelli和Lion的完全非线性方程均匀化理论。

在青年基金的资助下, 项目主持人主要系统地学习和研究了与Monge-Ampere型方程相关的Minkowski空间预定曲率问题、解的长时间几何性质、 Minkowski问题及Monge-Ampere方程的均匀化问题。 其中对于预定曲率在Minkowski空间的存在性, 探索大量的C^2估计技巧并取得了一定进展， 该方面技巧还被用于探索预定曲率超曲面存在性问题当预定曲率依赖法向量时该问题的C^2估计。同时也探索了L_p Minkowski问题解的正则性等. 本项目按计划完成所设课题研究, 这较好地完善和提升了主持人的研究能力和学术影响.