抛物型Monge-Ampere方程的外问题与多值解

The Monge-Ampere equations have very important situation in geometric and are significant in application. The discussion of Monge-Ampere equations has been a hot topic in partial differential equations. In this program, the exterior problem and the multi-valued solutions to parabolic Monge-Ampere equations will be mainly investigated. As for the exterior problem of parabolic Monge-Ampere equations, we will first construct the viscosity subsolution of the exterior problem and then obtain the existence of viscosity solutions using the Perron method. Furthermore, the regularity of viscosity solutions will be discussed. As for the multi-valued solutions to parabolic Monge-Ampere equations, we will first give the geometric situation of the multi-valued solutions to parabolic partial differential equations. Then we will get the existence of the multi-valued viscosity solutions to parabolic Monge-Ampere equations using the Perron method. Combined with the characteristic of parabolic Monge-Ampere equations themselves, the overall continuity of the multi-valued viscosity solutions will be solved. Furthermore, the smoothness of the multi-valued viscosity solutions will be discussed using the regularity theory of Monge-Ampere equations when the "cut curve" is "plane curve". This program will lay a foundation for the other parabolic Monge-Ampere equations.

Monge-Ampere方程有着很强的几何背景和重要的实际意义，对该方程的探讨一直是偏微分方程领域的热点。本项目主要研究一类抛物型Monge-Ampere方程的外问题和多值解。对于抛物型Monge-Ampere方程的外问题，本项目将首先构造外问题的粘性下解，然后利用Perron方法证明粘性解的存在性，进一步讨论解的正则性。对于抛物型Monge-Ampere方程的多值解，本项目首先给出抛物型方程多值解区域的几何背景，然后利用Perron方法证明多值解的存在性，结合抛物型Monge-Ampere方程本身的特点，解决多值粘性解的整体连续性。进一步利用Monge-Ampere方程的正则性理论讨论当"割口曲线"为"平面曲线"时解的光滑性。该研究将为其它类型的抛物型Monge-Ampere方程奠定基础。

Monge-Ampere方程作为一类完全非线性椭圆方程，有着很强的几何背景和重要的实际意义，对该方程的探讨一直是偏微分方程领域的热点。研究偏微分方程的过程中，有时需要知道方程的解是否对称，在某一方向上是否具有单调性，从而对偏微分方程解的对称性的研究受到了越来越多的关注。.本项目主要研究了抛物型Monge-Ampere方程的外问题、多值解和对称性，抛物型Hessian方程的外问题，完全非线性一致椭圆方程粘性解的对称性，非自治退化抛物-双曲型方程解的存在唯一性，几类偏微分方程（组）的数值解。.对于抛物型Monge-Ampere方程和Hessian方程的外问题，我们通过构造它们的一个粘性下解，利用Perron方法得到了该两类方程的外问题具有渐近性质的解的存在唯一性。对于抛物型Monge-Ampere方程的多值解，我们先给出了抛物型方程多值解区域的几何背景，通过构造抛物型Monge-Ampere方程的粘性下解，利用Perron方法得到了该方程的多值解以及具有渐近行为的多值解的存在性。对于抛物型Monge-Ampere方程的解的对称性，我们利用线性椭圆方程的极值原理和移动平面法，得到了抛物型Monge-Ampere方程古典解的对称性。对于完全非线性一致椭圆方程粘性解的对称性，我们先建立了线性椭圆方程粘性解的极值原理，然后利用移动平面法得到了完全非线性一致椭圆方程在有界区域内和在具有奇性的区域内的粘性解的对称性。对于非自治退化抛物-双曲型方程的柯西问题，我们建立了动力学公式，证明了该问题动力学解的存在唯一性。对于偏微分方程（组）的数值解，我们基于有限差分方法构造了一个守恒数值格式来求解Klein-Gordon-Schrodinger方程，Rosenau-KdV方程耦合Rosenau-RLW方程，GRLW方程的初边值问题。.本项目的研究成果至今已发表SCI论文10篇，中文核心期刊3篇（包括接受1篇）。通过本项目的研究，使我们对于抛物型方程有了更深刻的了解，同时该研究将为其它方程的外问题、多值解以及解的性质的探讨奠定基础。