动力系统中的维数理论和遍历优化的若干问题的研究

This project focuses on the research of the following topics: (1) the dimension of non-conformal repellers under random perturbations, the variational principle of dimension in the case of average conformal hyperbolic setting and related research of multifractal analysis; (2) the hyperbolic approximation of dimension and multifractal analysis in non-uniformly hyperbolic systems or expanding system with singular points and critical points; (3) the maximizing measure of a single observable function is periodic or has low dynamical complexity in hyperbolic systems or non-uniformly hyperbolic systems, and the property of the maximizing measure of a sequence of continuous functions.. The above research involves various fields of dynamical systems, such as topological dynamical system and ergodic theory, smooth ergodic theory and dimension theory. In this project, the methods used in this research are also complementary and integration. The applicant and the members of this project have some research experience in this field, which will provide a solid foundation for the innovative results of the project.

本项目致力于研究以下几个课题：（1）非共形排斥子的维数在随机扰动下的稳定性、平均共形双曲集上关于维数的变分原理以及相关的重分形分析理论；（2）非一致双曲系统或带奇点和临界点的扩张系统中关于维数和重分形分析的双曲逼近；（3）双曲系统或非双曲系统中单个观察函数的最大化测度是否是周期测度或具有较低的动力学复杂性，以及连续函数列的最大化测度的性质。. 上述研究涉及到动力系统研究的各个领域，如拓扑动力系统和遍历理论、光滑遍历理论以及维数理论等。在本项目中，这些研究领域互有交叉与渗透，在方法上也有互补与融合。申请人及项目组成员在这方面的研究已有一定的基础，这将为本项目的创新成果提供坚实的基础。

虽然动力系统中的维数理论和遍历优化是两个比较新的研究领域，但是吸引了国内外众多数学家的关注。本项目致力于这两个领域中以下几个问题的研究：一是非共形排斥子的维数理论；二是微分动力系统中的双曲逼近理论在维数理论中的应用；三是非可加势函数的遍历优化。项目组经过努力学习和集体攻关，取得了一系列研究成果：（i）证明了非共形排斥子上的次可加奇异值势函数的拓扑压关于映射的连续性，同时利用超可加奇异值势函数的拓扑压给出了非共形排斥子的Hausdorff维数一个到目前为止最好的下界估计；（ii）引入C^1平均共形双曲集的概念，证明了其维数等于稳定方向和不稳定方向的维数之和；（iii）定义了测度压，证明了任一支撑在C^1平均共形排斥子上的不变测度的维数由该测度压的零点给出，同时在一些条件下，证明双曲情形类似结论也成立；（iv）引入了渐近（次）可加势函数的投影压，证明了这类压的零温度极限。研究了带有限制条件的遍历优化，同时研究了渐近可加势函数所组成的Banach空间中的关于遍历优化的通有性质；（v）考虑了共形排斥子的确定性小扰动，证明了相应的重分形分析在扰动下是稳定的；（vi）在C^1情形下，如果Oseledec分解是控制的，则次可加奇异值势函数的拓扑压关于映射也是连续的。对于C^{1+r}系统的一个双曲遍历的SRB测度，构造了一列双曲集，证明了该列双曲集限制在不稳定流形上的Hausdorff维数趋于不稳定流形的维数，且在某些条件下证明了双曲集的Hausdorff维数趋于测度的Hausdorff维数。