热力学形式以及相关问题的研究

This project is committed to the study of the thermodynamic formalism and related topics in hyperbolic and non-hyperbolic systems. It contains the following contents: the first is the existence of (weak) Gibbs states of subadditive potentials and its stability under random perturbations, we will also consider the measure-theoretic pressure and pre-image entropy under a general group action; the second is to establish the conditional ergodic optimization theory of nonadditive potentials toghether with its relations with conditional variational principle in dimension theory; the third is to study the multifractal spectrum of nonadditive potentials, entropy and recurrence in a system admits mistakes; the last considers the dimension estimates of random nonconformal repellers, multifractal rigidity and the stability of related multifractal spectrum under random perturbations. The above study involves a variety of related research fields including ergodic theory, topological dynamics, smooth ergodic theory and dimension theory. In this project, the methods used in this research are also complementary and integration.We have already got some interesting results in these fields, which will provide solid foundation for the project to be successful.

本项目致力于研究双曲和非双曲系统中的热力学形式及相关问题。具体包括以下内容：一是研究次可加势函数的（弱）Gibbs态的存在性及其在随机扰动下的稳定性，同时考虑一般的群作用下的测度压、原像熵等重要的量的描述；二是建立非可加势函数的条件遍历优化的理论及其与维数理论中的条件变分原理的关系；三是研究带误差系统中的非可加势函数、熵及回复性的多重分形分析谱问题；四是考虑随机非共形排斥子的维数以及多重分形分析谱的刚性现象及其在随机扰动下的稳定性问题。 上述研究涉及到各种研究领域,包括遍历理论、拓扑动力系统、光滑遍历理论以及维数理论等。在本项目中，这些研究领域互有交叉与渗透，在方法上也有互补与融合。申请人及项目组成员在这方面的研究已有一些有趣的结果，这将为本项目的创新成果提供坚实的基础。

本项目致力于以下几个方面的研究，一是研究热力学机制的理论在维数理论中的应用；二是研究非可加势函数的大偏差的理论及其在熵、Lyapunov指数的收敛速度方面的应用；三是研究熵和Lyapunov指数在时间尺度变化下的性质。这些问题一直是动力系统领域中比较热门的研究内容。在本项目的研究中，我们得到了一些比较有趣的结果。我们研究了非共形排斥子的维数估计，特别是定义了次可加测度压，得到了测度版本的Bowen方程，即次可加测度压的零点正好给出了非共形排斥子上的遍历测度的维数。当一个系统仅仅具有弱碎轨跟踪性质时，项目主持人和巴西学者——Paulo Varandas系统研究了渐近可加势函数和次可加势函数的大偏差理论，并把这个结果用来估计某些系统的熵和Lyapunov指数的收敛速度。项目主持人和著名数学家——Yakov Pesin提出了Scaled拓扑熵和Scaled测度熵的概念，用来刻画某些零熵系统的复杂性，同时还研究了Lyapunov指数在时间尺度变化下的理论，得到了一系列有趣的结果，受到国内外同行的关注。项目申请人还独立研究了在可观测测度上的遍历优化问题，研究结果进一步揭示了可观测测度的重要性。本项目还系统研究了在顺从群作用下的测度压的一般理论，以及在符号系统中的q-熵理论。