动力系统中熵理论、混沌理论以及遍历优化问题的研究

In this project, we study three hot topics in entropy theory, chaos theory and ergodic optimization of dynamical systems. First, we are attempted to generalize some measure-theoretic results, such as Shannon-McMillan lemma and so on, under the group action generated by a single transformation to the case of amenable group in a realtive sense, and then discuss along this line some related questions in entropy theory. Second, we study sensitive behavious in the chaos theory of topological dynamical systems. Particularly we care about multi-variant sensitivity in measurable or realtive sense and the relations among its various generalizations. Third, from the point of entropy we investigate ergodic optimization and its realted open questions, and among which we focus on the question if a positive entropy x2-invariant measure uniquely maximize a real analytic function.

本项目主要研究动力系统中熵理论、混沌理论以及遍历优化问题三个方面。第一，我们研究amenable群作用下动力系统的条件熵理论。我们试图将单个变换生成的作用的一些经典结果如Shannon-McMillan引理等推广到相对化的amenable群作用下，并由此角度来讨论熵理论中的相关问题。第二，我们研究拓扑动力系统混沌理论中敏感性的相关问题。由一般的初值敏感性出发讨论多元敏感性的各个种类间的联系，侧重考虑测度意义下以及相对化的敏感性的刻画。第三，我们从熵的角度出发对遍历优化的相关公开问题进行研究，侧重于考虑圆周2倍扩张变换的不变测度中具有正熵的测度是否能成为某个实解析函数的唯一最大化测度。

动力系统研究中一个核心问题就是如何描述系统的复杂程度。本项目主要从熵理论、敏感性以及其它复杂性刻画量等三个方面展开研究，具体说来：.（1）熵理论及其相关问题的研究方面，我们对连续流引入加权测度熵和非紧集合的加权拓扑熵的概念，同时建立了变分原理；并研究其与时间1映射加权熵的关系。 还对amenable 群作用的相对化的 Shannon-McMillan-Breiman 定理完成了遍历情形的证明，利用遍历情形的这一阶段性成果已经可以解决一些问题。.（2）敏感性相关问题的研究方面，我们系统地研究了极小系统间扩充的相对敏感性，引入相对的block thick 敏感性和相对的强 thick 敏感性，对这些敏感性得到了Auslander-Yorke 型二分定理。还对测度意义下的加强情形多元敏感性进行了系统的研究，并得到相关的 Auslander-Yorke 型二分定理。.（3）复杂性刻画其它量如熵维数、测度复杂度的研究方面，我们引入了原像熵维数，研究其基本性质并讨论其与原像熵之间的联系，还对因子映射引入相对的熵维数，研究其基本性质并通过考虑特殊的熵生成序列的维数给出等价刻画；定义了最大度量和平均度量并引入测度复杂度，证明了保测系统是刚性的当且仅当不变测度相对于最大度量（或平均度量）的复杂度是有限的；同时还建立了两种度量的复杂度与熵之间的计算公式。.在研究过程中，我们引入了新的概念和性质，产生了新的思想和方法，对了解动力系统的复杂程度有重要的理论意义。