Thompson群F顺从性问题的研究

The project intends to study on the problem of amenability of Thompson's group F. We plan to reduce properties of F related to amenability to properties of P and P^{-1}. We are going to investigate the ruinous set, paradoxical decomposition, F?lner set and finite decomposition complexity of F. In the project, we will mainly use powerful geometric tools of binary forests and binary trees and algebraic tool of normal forms. The project are not only advancing, but also of great importance in theories.

本项目对Thompson群F的顺从性问题展开研究。期望将F的顺从性的相关性质转化到其子半群P和P^{-1}上来研究。拟计划从Thompson群F的破坏性集合、矛盾分解、F?lner集合、有限分解复杂度等问题进行深入的探讨。主要利用二进制森林、二进制树等几何工具和F中元素的正规形式的代数工具来研究。所研究的内容不仅具有前沿性，而且具有重要的理论意义。

本项目主要对Thompson群F的顺从性问题展开研究。 主要研究Thompson群F的Folner函数、Folner集合的性质和Thompson群F的有限分解复杂度问题。有限分解复杂度性质的数量化问题的研究具有重要的理论意义和实际意义。我们找到了复杂度为最小可数无限序数的度量空间的等价刻画。特别地，找到复杂度为最小可数无限序数的度量空间与有限维单纯复形之间的关系。 这对我们研究F的圈积子群的精确复杂度具有重要作用。 我们将Thompson群F的圈积子群ZwrZ的有限积嵌入到线性群中，从而可以证明其精确复杂度为最小可数无限序数w ，进而得到圈积子群（ZwrZ）wrZ 的复杂度为w+1 。 Thompson 群 F 的圈积子群序列的“精确复杂度”的研究极有可能为解决 Thompson 群 F 的有限分解复杂度问题提供一种新途径。两个有限生成群的圈积是一个有趣的研究对象。 我们找到任意一个有限生成群H和整数群Z的圈积群HwrZ的词度量公式并利用Fordham的技巧证明。它可以帮助我们研究圈积群的几何性质。有限分解复杂度和渐近性质C可以看作是粗几何中的无限维性质。 我们证明了Thompson群F关于无限生成集的词度量形成的度量空间不具有有限分解复杂度且不具有渐近性质C。受有限渐近维数定义的启发，我们定义了几乎有限渐近维的性质，对渐近维数无限的度量空间进行分类。我们证明了几乎有限渐近维是粗不变的几何性质, 在某些运算下是封闭的。而且具有几乎有限渐近维的度量空间一定具有渐近性质C。 另外，我们还研究C*-代数C(X,A)的交叉积C*-代数及其应用。