群的弱顺从性和Roe代数中的逼近性质

Roe代数和一致Roe代数是一类非常重要的C*-代数，是联系几何、分析和拓扑的重要桥梁，是粗Baum-connes猜测的载体。本项目主要研究度量空间的一致Roe代数中的逼近性质，比如平移不变逼近性质和群作用不变逼近性质以及这两个性质成立的条件，从而进一步刻画一致Roe代数的内在结构。本项目还对相对双曲群的弱顺从性质进行研究。另外，弱顺从性质和逼近性质之间的关系也是本项目研究的内容。采取的方法是综合代数，分析和拓扑的工具，内容主要涉及算子代数，粗几何和几何群论。

在项目资助期间完成了以下结果：.1. 关于一致Roe代数逼近性质. Roe代数和一致Roe代数是一类重要的C*-代数，是联系几何、分析和拓扑的桥梁，是粗Baum-Connes猜测的载体。Lafforgue，Higson和Skandalis所构造的粗Baum-Connes猜测的反例正是用了具有性质T的离散群的盒子空间的一致Roe代数包含鬼元素。因此，研究一致Roe代数的结构，对于理解粗Baum-Connes猜测有比较重要的意义。在本项目资助期间，取得以下结果：. （1）研究了带有群作用的有界几何度量空间的一致Roe代数的群作用不变逼近性质，证明了如果顺从群等距作用到具有性质A的有界几何的度量空间上，那么该度量空间具有群作用不变逼近性质。. （2）给出了一致Roe代数的度量不变平移逼近性质，证明了好的双曲图具有度量平移不变逼近性质。这种性质是群的不变平移不变逼近性质在度量空间中的一种推广形式。. （3）度量空间的一致Roe代数中的算子用有限带状进行切割后得到的算子不一定收敛到该算子本身。当度量空间为整数群时，该结果对应的是经典Fourier分析中的一个结果，i.e. 单位圆周上连续函数的Fourier级数不一定一致收敛到该函数。我们称之为非交换的Fejer定理。同时，给出了利用有限带状进行切割得到的算子收敛到该算子本身的充分条件。.2、对等变的粗Baum-Connes猜测进行了研究，证明了等变粗嵌入到Hilbert空间的度量空间上的等变粗Baum-Connes猜测是成立的。.3、对Krein空间上的J-正常算子的可定化性做了一些研究。.4、在科研中，遇到并讨论了线性变换的一个典型问题，该问题可用于平时的教学。