顺从群膨胀作用的算子代数

The notion of “expansive actions” of countable groups on compact metric spaces is important in topological system. “Homoclinic equivalence” and “strongly homoclinic equivalence” are consistent for expansive actions with Property C of amenable groups. Smale spaces, such as subshift of finite type, Anosov diffeomorphisms and Solenoids, belong to these systems of group actions. In this project, we will study operator algebras associated with homoclinic equivalence and countable probability measure preserving homoclinic equivalence, and explore the classification problems of these kinds of group actions . We will describe amenability or injectivity, as well as the structure of smooth subalgebras, of the corresponding operator algebras, discuss the existence of nontrivial projections in C*-algebras associated with heteroclinic equivalence relations and compute the noncommutative entropy of canonical automorphisms of homoclinic operator algebras from mixing Smale spaces, and study the uniqueness of canonical Cartan subalgebra of von Neumann algebras associated with countable probability measure preserving homoclinic equivalence relation up to unitary equivalence. This research will reveal the relationship among isomorphism class of operator algebras, isomorphism class of homoclinic equivalence relation and isomorphism class up to homoclinic equivalence of expansive actions of amenable groups.

紧度量空间上群作用的“膨胀性”是动力系统中的一个重要概念。对于满足“性质C”的顺从群膨胀作用，“同宿等价”与“强同宿等价”是一致的；有限类子平移、Anosov微分同胚和Solenoids等Smale空间都属于这类群作用系统。本项目拟研究上述顺从群膨胀作用的“同宿等价关系”和“保测同宿等价关系”诱导的算子代数理论，探究此类群作用在同宿等价意义下的分类问题。本项目将刻画等价关系代数的顺从性、内射性和光滑子代数结构；解决Smale空间上“异宿等价关系”诱导的C*-代数中非平凡投影的存在性问题，计算此双曲系统上同宿等价关系代数的典则自同构的非交换熵；研究保测同宿等价关系代数中典则Cartan子代数在酉等价意义下的唯一性。本项目研究将揭示算子代数的同构类、（保测）同宿等价关系的同构类与顺从群的膨胀作用在同宿等价意义下的分类问题之间的联系。

研究了源于拓扑动力系统尤其是可数离散群膨胀作用的算子代数的结构、分类、刚性及其相关问题；在非交换熵理论、膨胀作用在渐近连续轨道等价意义下的分类、可数离散群和半群作用在连续轨道等价意义下的分类、极大函数不等式和框架理论等方面取得了一系列研究成果。引入并研究了顺从群C*-动力系统的非交换熵理论，此是顺从群作用的经典熵理论的非交换化；刻画了可数群的完全不可约SFT的渐近等价关系代数的结构，如单性与核性质等，并在顺从群条件下证明了此典则C*-动力系统的非交换拓扑熵与原群作用动力系统的拓扑熵相等，从而将分属于两个不同领域内的共轭同构不变量联系起来。借助于渐近共轭等价关系及其半直积广群C*-代数理论研究了膨胀作用系统的渐近连续轨道等价性质和相应C*-刚性理论，此结果推广了（整数群上的）Smale空间上相关结果。刻画了离散群在拓扑等价关系上的代数作用以及可数半群在紧度量空间上的满局部同胚作用的连续轨道等价性质及其相关算子代数的刚性；特别地，证明了n-维双曲Toral自同构下的局部共轭等价关系代数及其相应的典则交叉积代数是非交换Toral代数。研究了etale等价关系C*-代数的反变函子性质，证明了半有限von Neumann代数上的每个弱* 2-局部导子是个导子。同时，本项目刻画了g-框架生成子的膨胀性和对偶性理论，以及局部紧交换群的平方可积函数空间上的位移不变系统成为Bessel列和（紧）框架的充要条件。研究了极大函数的经典双权不等式、滤子空间上正算子的双权强型和弱型不等式理论，并为研究单侧鞅变换的新的sharp的单边加权不等式建立了一般版本的分布函数不等式。