NIP理论中可定义顺从群的可定义拓扑动力性质的研究

This programme aims to prove the following two conjectures, which extend two definable topological dynamics properties of definably amenable groups from o-minimal context, to NIP context:..Conjecture 1: If G is an extremely definable amenable group, then every weakly generic type is almost periodic...Conjecture 2: A definably amenable group G in distal theories is an extension of K by H where K is finitely satisfiable generic and H has a definable global weakly generic type?

在本项目中，我们希望能把o-极小理论中可定义顺从群的可定义拓扑动力的两个性质推广到NIP理论上。具体的讲就是在NIP的条件下证明以下两个猜想：..猜想1: 极度可定义顺从群的每个弱generic型都是几乎周期的。.猜想2: distal理论中的可定义顺从群可以表示为一个有限可满足generic群被一个具有可定义weakly generic型的可定义顺从群扩张。

NIP理论是对稳定理论的推广，是目前模型论研究的核心领域之一。NIP结构可以划分为两大类：distal结构和非distal结构。直观地说，NIP结构中具有严格线序的结构是Distal结构，其余的是非distal结构，如代数闭域，代数闭赋值域等。Distal结构中有三类典型结构：o-minimal, p-adic数域，以及Presburger算术结构。..本项目的主要研究内容是将o-minimal理论中的可定义顺从群的可定义拓扑动力性质和关于群结构的刻画推广到NIP理论上。对o-minimal结构的研究相对已经非常深入了，而对于p-adic数域和Presburger算术结构中的可定义拓扑的研究还是空白，因此本项目重点研究了p-adic数域和Presburger算术结构中的可定义群的可定义拓扑动力性质。..主要的结果如下：..一、研究了Qp与Zp的加法群和乘法群，二阶可逆上三角群、SL(2,Zp)以及2阶特殊线性群SL(2,Qp)。我们刻画了它们的f-generic型，极小流以及幂等点。SL(2,Qp)是本文研究的重点，主要结论是刻画了SL(2,Qp)的Ellis群，从而给出了Newelski猜想的的一个反例，其中Ellis群无穷G=G^00=G^000。最后，我们研究了SL(2,Qp)作用在Qp的射影空间时的情形。..二、研究了p-进域上的可三角化的代数群的可定义拓扑动力性质，刻画了其上的几乎周期型，证明了其上的几乎周期型与弱generic型是等价的。..三、研究了几何结构中的可定义群G，证明了G的单位元有一个交换的邻域，则G含有一个有限指数的阿贝尔子群。进而证明p-进域上的1维的可定义群总是含有一个有限指数的阿贝尔子群。..四、研究了p-进域上的具有的定义f-generic型的可定义群（简称dfg群）。证明了可定义群G是dfg群当且仅当其是完全非紧的群，即存在G的正规可定义子群列G_0<G_1<...<G_n使得G_0是有限的，G_n在G中有有限指数，G_{i 1}/G_i同构于1维的无界的（非紧的）可定义群。..五、研究了整数加法群G=(Z,+)的可定义拓扑动力性质，刻画了G^n上的弱generic型。证明了上型p是f-generic型当且仅当p是可定义的，且其代数维数为n。进而证明了弱generic型与几乎周期型等价。