具有非线性支付函数的随机微分对策及HJBI方程的粘性解

Classic stochastic differential games are used in realizing the objective reality stochastic process, and emphasized how to achieve the equilibrium state with interference from now on. However, we concern how to select the optimal strategy such that games achieve equilibrium and all the players achieve theirs desired objectives in a random disturbance. Therefore it can be worked out by stochastic differential games with backward stochastic differential equations as cost functionals. Stochastic differential games with above nonlinear cost functionals are a new idea and method to solve practical problems, such as economy, management, biology and so on. The existence of Nash equilibrium and HJBI equation for Nash equilibrium payment is very concerned by worldwide scholars in more recent years. This project will be based on differential games theory and backward stochastic differential equations theory. The main contents include: (1) We will study the unique viscosity solution of an HJBI equation of stochastic differential games with nonlinear cost functionals. (2) We will solve stochastic differential games for government resource management by the above results.

经典的随机微分对策考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程，强调从现在出发在有干扰的情况下达到均衡的状态。支付函数为倒向随机微分方程的随机微分对策则主要关心在有随机干扰的环境中如何选择最优策略使一个博弈达到均衡且各局中人达到其预期的目标。具有这种非线性支付函数的随机微分对策是一新的思考与解决问题的方式，结构更复杂也更贴近经济，管理，生物学等实际问题，其均衡的存在性与均衡支付的HJBI方程是近些年来国内外学者非常关注的研究领域。本项目基于将微分对策理论与倒向随机微分方程理论相结合的思想，主要研究内容包括：（1）研究具有非线性支付函数的随机微分对策HJBI方程的粘性解及粘性解唯一性。（2）利用（1）的结果解决反恐与经济增长的随机微分对策模型。

微分方程理论是数学的重要分支之一，并随实际需要不断发展，带动了许多新的科学研究方向。目前较为受经济学，军事学等关注的是微分对策问题。随着实际科学研究的发展，随机微分对策成为当前的热点。主要分为两方面：零和与非零和。零和随机微分对策是指该对策的局中人的支付函数是相同的。一方损失的恰是另一方收益的，常见于完全竞争关系的实际问题。其中一个比较典型的结果是，2008年Buckdahn和Li总结了Fleming和Souganidis的结果，考虑了支付函数为倒向随机微分方程的随机微分对策。借助倒向随机微分方程理论，特别是“倒向半群”，证明了零和二人随机微分对策上、下值函数的动态规划原理，且它们分别是HJBI方程的唯一粘性解。非零和随机微分对策是指局中人的目标泛函不相同，这种对策更贴近实际问题。并且由于零和对策也可看作特殊的非零和对策，因此解决非零和随机微分对策的Nash均衡尤为重要。以此，项目组立项的基本要求和目标即是将Buckdahn的结果推广到非零和。从项目立项准备到结题，项目组按照年度研究计划依次对研究内容进行分析讨论。在项目研究前期，主要研究学习最新发表的非零和随机微分对策及倒向随机微分方程的科研论文，以了解和掌握最新的学术动态. 在项目研究的中期，得到支付函数由倒向随机微分方程定义的非零和随机微分对策值函数的动态规划原理. 讨论和分析值函数相应的HJBI方程，尝试着给出其粘性解. 在项目研究的后期，建立反恐策略与经济增长的随机微分对策模型，并得到其反馈均衡解.在我们的研究过程中，将具有非线性支付函数的随机微分对策转化成正倒向随机微分方程问题，得到非零和微分对策的动态规划原理，力求解决值函数的HJBI方程粘性解，这为以后非零和随机微分对策均衡解得研究奠定了基础。项目组构建的反恐策略与经济增长的随机微分对策模型，合理地模拟了现今的反恐问题，并首次将反恐行动与政府的经济发展综合考量，实现对政府资源分配的管理。